《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B)

A.锐角三角形中的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数 x，使 x² ≤ 0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数 x，使$\frac{1}{x}$ ＞ 2

答案： 1. 解析:对于选项A，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A错误。
对于选项B，为存在量词命题，当x = 0时，x² = 0成立，所以B正确。
对于选项C，因为$\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$，所以C错误。
对于选项D，对于任何一个负数x，都有$\frac{1}{x} ＜ 0$，所以D错误。
故选B。

2. 有下列四个命题：① ∀x∈R，$\sqrt{x² + 1}$ ＞ 0；② ∀x∈N，x² ＞ 0；③ ∃x∈N，-3 ≤ x ＜ -1；④ ∃x∈Q，x² = 2，其中真命题的个数为(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2. 解析:对于①，是真命题，因为$\sqrt{x^2} \geq 0$，所以$\sqrt{x^2} + 1 ＞ 0$。
对于②，是假命题，因为当x = 0时，x² = 0。
对于③，是假命题，由x∈N知x≥0，所以x∉{x | -3 ＜ x ≤ -1}。
对于④，是假命题，因为x∈Q，所以x²≠2。
所以真命题的序号是①，共1个。故选A。

3. 已知命题 p：“∀x∈R，x + |x| ≥ 0”，则命题 p 的否定是(D)

A.∃x₀∈R，x₀ + |x₀| ≥ 0，且为真命题
B.∃x₀∈R，x₀ + |x₀| ＜ 0，且为真命题
C.∃x₀∈R，x₀ + |x₀| ≥ 0，且为假命题
D.∃x₀∈R，x₀ + |x₀| ＜ 0，且为假命题

答案： 3. 解析:由题意可知，∀x∈R，x + |x|≥0，所以命题p的否定是“∃x₀∈R，x₀ + |x₀| ＜ 0”，且为假命题，故选D。

4. 命题“∃x₀∈R，f(x₀) ＜ 0”的否定是(A)

A.∀x∈R，f(x) ≥ 0
B.∀x ∉ R，f(x) ≥ 0
C.∀x∈R，f(x) ＜ 0
D.∃x₀ ∉ R，f(x₀) ≥ 0

答案： 4. 解析:由命题的否定可知选A。

5. 若命题 p：“∀x∈R，2ax² - ax - 1 ≤ 0”为真命题，则实数 a 的取值范围是(B)

A.a ≤ 8
B.-8 ≤ a ≤ 0
C.a ＜ -8
D.-8 ＜ a ＜ 0

答案： 5. 解析:由题意知，当a = 0时，不等式化为 -1 ≤ 0，命题成立；
当a≠0时，应满足$\begin{cases} a ＜ 0, \\ \Delta = a^2 + 8a \leq 0, \end{cases}$解得 -8 ≤ a ＜ 0；
综上可得，实数a的取值范围是 -8 ≤ a ≤ 0。故选B。

6. 若命题“∃x∈R，(a - 2)x² + 2(a - 2)x - 4 ≥ 0”是假命题，则实数 a 的取值范围是(B)

A.-2 ＜ a ＜ 2
B.-2 ＜ a ≤ 2
C.-2 ≤ a ≤ 2
D.-2 ≤ a ＜ 2

答案： 6. 解析:(方法1)依题意，(a - 2)x² + 2(a - 2)x - 4 ＜ 0对x∈R恒成立，
当a = 2时， -4 ＜ 0恒成立，满足题意。
当a≠2时，则需$\begin{cases} a - 2 ＜ 0, \\ \Delta = 4(a - 2)^2 + 16(a - 2) ＜ 0, \end{cases}$解得 -2 ＜ a ＜ 2。
综上， -2 ＜ a ≤ 2，故选B。
(方法2)依题意，(a - 2)x² + 2(a - 2)x - 4 ＜ 0对x∈R恒成立，
取a = 2，满足题意，排除选项A，D。
取a = -2，不等式 -4(x + 1)² ＜ 0不恒成立(x = -1时不成立)，排除选项C。
故选B。