《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例1】解下列不等式：
(1)$2x^{2}-3x - 2＞0$；
(2)$-2x^{2}+x - 3\geqslant0$；
(3)$4(2x^{2}-2x + 1)＞x(4 - x)$。

答案：
(1) $2x^{2}-3x - 2＞0$
因式分解得$(2x + 1)(x - 2)＞0$
解得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞2$
解集为$\{x|x＜-\frac{1}{2}$或$x＞2\}$
(2) $-2x^{2}+x - 3\geqslant0$
整理得$2x^{2}-x + 3\leqslant0$
方程$2x^{2}-x + 3 = 0$的判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×2×3 = 1 - 24 = -23＜0$
二次函数$y=2x^{2}-x + 3$的图象开口向上且与x轴无交点
解集为$\varnothing$
(3) $4(2x^{2}-2x + 1)＞x(4 - x)$
展开得$8x^{2}-8x + 4＞4x - x^{2}$
移项整理得$9x^{2}-12x + 4＞0$
因式分解得$(3x - 2)^2＞0$
解得$x≠\frac{2}{3}$
解集为$\{x|x＜\frac{2}{3}$或$x＞\frac{2}{3}\}$

【例2】解下列不等式：
(1)$2x^{4}-3x^{2}-2\geqslant0$；
(2)$x^{2}-5|x|＜6$；
(3)$x + 2\sqrt{x}＜8$；
(4)$\frac{x - 2}{x}\leqslant2$。

答案：
(1)原不等式可化为$(2x^{2}+1)(x^{2}-2)\geqslant0$，$\because2x^{2}+1＞0$，$\therefore x^{2}\geqslant2$，解得$x\leqslant-\sqrt{2}$或$x\geqslant\sqrt{2}$，解集为$\{x|x\leqslant-\sqrt{2}$或$x\geqslant\sqrt{2}\}$。
(2)原不等式可化为$|x|^{2}-5|x|-6＜0$，令$t=|x|(t\geqslant0)$，则$(t+1)(t-6)＜0$，解得$0\leqslant t＜6$，即$|x|＜6$，$\therefore-6＜x＜6$，解集为$\{x|-6＜x＜6\}$。
(3)令$t=\sqrt{x}(t\geqslant0)$，原不等式化为$t^{2}+2t-8＜0$，即$(t+4)(t-2)＜0$，解得$0\leqslant t＜2$，$\therefore\sqrt{x}＜2$，即$0\leqslant x＜4$，解集为$\{x|0\leqslant x＜4\}$。
(4)原不等式等价于$\frac{x-2-2x}{x}\leqslant0$，即$\frac{-x-2}{x}\leqslant0$，等价于$\frac{x+2}{x}\geqslant0(x\neq0)$，解得$x\leqslant-2$或$x＞0$，解集为$\{x|x\leqslant-2$或$x＞0\}$。