《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 已知函数 $ f(x) = x^2 + bx + c $，若方程 $ f(x) = x $ 无实根，则方程 $ f[f(x)] = x $(D)

A.有四个相异实根
B.有两个相异实根
C.有一个实根
D.无实根

答案： 1. 解析:因为方程$ f(x)=x $无实根，又因为$ f(x) $的图象开口朝上，所以$ f(x)＞x $恒成立，进一步有$ f[f(x)]＞f(x)＞x $，即方程$ f[f(x)]=x $无实根.故选D.

2. 已知函数 $ f(x) = |3^x - 1| + 3 $，若关于 $ x $ 的方程 $ f^2(x) - (a + 3)f(x) + 3a = 0 $ 有三个实根，则实数 $ a $ 的取值范围是(C)

A.$ 1 ＜ a ＜ 2 $
B.$ a ＞ 2 $
C.$ 3 ＜ a ＜ 4 $
D.$ a ＞ 3 $

答案： 2. 解析:令$ t = f(x) $，则$ t^{2}-(a + 3)t + 3a = 0 $，解得$ t_{1}=a $，$ t_{2}=3 $.而由$ |3^{x}-1| + 3 = 3 $可得$ x = 0 $，故$ |3^{x}-1| = a - 3 $有两个实根，则$ 0 ＜ a - 3 ＜ 1 $，所以$ 3 ＜ a ＜ 4 $.故选C.

3. 设函数 $ f(x) = \begin{cases}4x + 1, x ＜ 2, \\ 3^x, x \geq 2,\end{cases}$ 则满足 $ f[f(a)] = 3^{f(a)} $ 的 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ \left[\dfrac{1}{4}, 1\right] $
B.$ [0, 1] $
C.$ \left\{-\dfrac{1}{4}\right\} \cup \left[\dfrac{1}{4}, +\infty\right) $
D.$ \left[\dfrac{1}{4}, +\infty\right) $

答案： 3. 解析:由题意可知，需满足$ f[f(a)] = 3^{f(a)} $，则$ f(a)\geq2 $或$ f(a)=0 $，解得$ a\geq\frac{1}{4} $或$ a = -\frac{1}{4} $.故选C.

4. 设函数 $ f(x) = \begin{cases}4 + x, x \leq 0, \\ x^2, x ＞ 0,\end{cases}$ 若 $ f(f(a)) ＞ f[f(a) + 1] $，则实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ (-1, 0] $
B.$ [-1, 0] $
C.$ (-5, -4] $
D.$ [-5, -4] $

答案：
4. 解析:(方法1)当$ a ＞ 0 $时，$ f(a^{2})＞f(a^{2}+1) $，即$ (a^{2})^{2}＞(a^{2}+1)^{2} $，无解；当$ a\leq0 $时，$ f(a)=4 + a $，即$ f(4 + a)＞f(5 + a) $.当$ a\leq - 5 $时，$ 4 + (4 + a)＞4 + (5 + a) $，无解；当$ - 5 ＜ a\leq - 4 $时，$ 4 + (4 + a)＞(5 + a)^{2} $，化简得$ a^{2}+9a + 17 ＜ 0 $，符合题意；当$ - 4 ＜ a\leq0 $时，$ (4 + a)^{2}＞(5 + a)^{2} $，化简得$ 2a + 9 ＜ 0 $，无解；综上，$ - 5 ＜ a\leq - 4 $.故选C.(方法2)$ f(x) $在$ (-\infty,0] $上单调递增，在$ (0,+\infty) $上单调递增，如图.由$ f[f(a)]＞f(f(a)+1) $可知$ f(a)\leq0 $，$ f(a)+1 ＞ 0 $，解得$ - 5 ＜ a\leq - 4 $.故选C.

5. 已知函数 $ f(x) = x^2 - 2x + a $，$ x ＞ 0 $，若函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = f[f(x)] $ 有相同的值域，则 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ \left(\dfrac{1}{2}, 1\right] $
B.$ (-\infty, 2] $
C.$ \left[1, \dfrac{3}{2}\right) $
D.$ [1, +\infty) $

答案： 5. 解析:因为$ f(x) $在$ (0,1) $上单调递减，在$ (1,+\infty) $上单调递增，则$ f(x)\in[a - 1,+\infty) $.由题意得$ a - 1\leq1 $，解得$ a\leq2 $.故选B.

6. 已知函数 $ f(x) = 1 + \ln |x - a| $，对任意的非零实数 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $，关于 $ x $ 的方程 $ b[f(x)]^2 + cf(x) + d = 0 $ 的解集不可能是(D)

A.$ \{1, 2017\} $
B.$ \{5, 2014\} $
C.$ \{3, 5, 2014, 2016\} $
D.$ \{2015, 2017, 2019\} $

答案：
6. 解析:$ f(x) $的图象如图所示， 若方程$ bx^{2}+cx + d = 0 $有两个不等实根$ x_{1},x_{2} $，则$ f(x)=x_{1} $，$ f(x)=x_{2} $，故$ b(f(x))^{2}+cf(x)+d = 0 $共有4个实根.若方程$ bx^{2}+cx + d = 0 $有两个相等实根$ x_{1}=x_{2} $，则$ f(x)=x_{1} $，故$ b[f(x)]^{2}+cf(x)+d = 0 $共有2个实根.综上，$ b[f(x)]^{2}+cf(x)+d = 0 $的实根数可以为0，2，4，所以不可能为3个实根.故选D.