《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

2. 设 $ a $，$ b $ 是实数，则“$ \sqrt{a} ＞ \sqrt{b} $”是“$ a^2 ＞ ab $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2. 解析:①当$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$时，因为$a＞b\geqslant0$，所以$a^{2}＞ab$，所以充分性成立。②当$a = - 3$，$b = 1$时，满足$a^{2}＞ab$，但不满足$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，所以必要性不成立。所以“$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$”是“$a^{2}＞ab$”的充分不必要条件，故选A。

3. 设 $ x \in \mathbf{R} $，则“$ x^2 - 5x ＞ 0 $”是“$ |x - 1| ＞ 1 $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3. 解析:因为$x^{2}-5x＞0$，所以$x＞5$或$x＜0$。因为$|x - 1|＞1$，所以$x＞2$或$x＜0$。因为$\{x|x＞5或x＜0\}\subsetneqq\{x|x＞2或x＜0\}$，所以“$x^{2}-5x＞0$”是“$|x - 1|＞1$”的充分不必要条件，故选A。

4. 设集合 $ A $，$ B $ 是非空集合，则“$ A \cap B = A $”是“$ A \subseteq B $”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分条件也不必要条件

答案：
4. 解析:若$A\subseteq B$成立，由韦恩图得到$A\cap B = A$一定成立，反之，若$A\cap B = A$成立，由韦恩图得到$A\subseteq B$成立，所以“$A\subseteq B$”是“$A\cap B = A$”的充要条件，故选C。
　　　　　　　

5. 设 $ a $，$ b $，$ m $ 为实数，给出下列三个条件：
① $ a^3 ＞ b^3 $；② $ am^2 ＞ bm^2 $；③ $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $，其中能使 $ a ＞ b $ 成立的充分不必要条件是(B)

A.①
B.②
C.③
D.①②③

答案： 5. 解析:因为$a^{3}＞b^{3}\Leftrightarrow a＞b$，所以①错误。由$am^{2}＞bm^{2}$能推出$a＞b$，但是当$m = 0$时，由$a＞b$推不出$am^{2}＞bm^{2}$，故②正确。当$a = - 2$，$b = 4$时，$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$成立，但$a＞b$不成立，所以$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$不是$a＞b$的充分不必要条件，所以③错误。故选B。

6. 若关于 $ x $ 的不等式 $ |x - 1| ＜ 2a $ 成立的充分条件为 $ \{ x | 0 ＜ x ＜ 4 \} $，则实数 $ a $ 的取值范围可以是(B)

A.$ \left[ \frac{1}{2}, +\infty \right) $
B.$ \left[ \frac{3}{2}, +\infty \right) $
C.$ \left( -\infty, \frac{1}{2} \right] $
D.$ \left( -\infty, \frac{3}{2} \right] $

答案： 6. 解析:因为不等式$|x - 1|＜2a$成立的充分条件是$0＜x＜4$，设不等式的解集为$A$，则$(0,4)\subsetneqq A$。当$a\leqslant0$时，$A=\varnothing$，不满足要求，当$a＞0$时，$A=(1 - 2a,1 + 2a)$，若$(0,4)\subsetneqq A$，则$\begin{cases}1 - 2a\leqslant0\\1 + 2a\geqslant4\end{cases}$，所以$a\geqslant\frac{3}{2}$，经检验知$a=\frac{3}{2}$符合题意，所以$a\geqslant\frac{3}{2}$。故选B。

7. 若 $ a $，$ b $，$ c \in \mathbf{R} $，则下列叙述中正确的是(BD)

A.“$ ab^2 ＞ cb^2 $”的充要条件是“$ a ＞ c $”
B.“$ a ＞ 1 $”是“$ \frac{1}{a} ＜ 1 $”的充分不必要条件
C.“$ ax^2 + bx + c \geq 0 $ 对 $ x \in \mathbf{R} $ 恒成立”的充要条件是“$ b^2 - 4ac \leq 0 $”
D.“$ a ＜ 1 $”是“方程 $ x^2 + x + a = 0 $ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

答案： 7. 解析:对于选项A，当$ab^{2}＞cb^{2}$成立时，因为$b^{2}＞0$，所以$a＞c$，充分性成立；当$a＞c$成立时，因为$b^{2}\geqslant0$，不能得出$ab^{2}＞cb^{2}$，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故A错误。对于选项B，当$a＞1$时，$\frac{1}{a}＜1$成立，即充分性成立；当$\frac{1}{a}＜1$时，$\frac{1}{a}-1＜0$，解得$a＜0$或$a＞1$，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故B正确。对于选项C，$ax^{2}+bx + c\geqslant0$对$x\in\mathbf{R}$恒成立时，则$\begin{cases}a＞0\\b^{2}-4ac\leqslant0\end{cases}$或$\begin{cases}a = b = 0\\c\geqslant0\end{cases}$；当$b^{2}-4ac\leqslant0$时，不等式$ax^{2}+bx + c\geqslant0$对$x\in\mathbf{R}$不恒成立，所以是既不充分也不必要条件，故C错误。对于选项D，当$a＜1$时，方程$x^{2}+x + a = 0$不一定有实数根，如$a=\frac{1}{2}$，$\Delta=1 - 4×\frac{1}{2}=-1＜0$，方程无实根，所以充分性不成立。当方程$x^{2}+x + a = 0$有一个正根和一个负根时，$a＜0$，所以$a＜1$，必要性成立，所以是必要不充分条件，故D正确。故选BD。

8. 已知命题 $ p $：对任意 $ x \in \mathbf{R} $，$ x^2 + ax + 4 ＞ 0 $，则命题 $ p $ 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的(AD)

A.$ a \in [-1, 1] $
B.$ a \in (-4, 4) $
C.$ a \in [-4, 4] $
D.$ a \in \{ 0 \} $

答案： 8. 解析:命题$p$：$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+ax + 4＞0$，所以$\Delta=a^{2}-16＜0$，解得$-4＜a＜4$。则命题$p$成立的一个充分不必要条件可以是$a\in[-1,1]$或$a\in\{0\}$。故选AD。

9. 下列四个选项中，命题 $ q $ 是命题 $ p $ 的充分必要条件的是(ABC)

A.$ p $：$ \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases} $，$ q $：$ \begin{cases} a + b = 0 \\ ab = 0 \end{cases} $
B.$ p $：$ \begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} $，$ q $：$ \begin{cases} a + b = 2 \\ ab = 1 \end{cases} $
C.$ p $：$ \begin{cases} a ＞ 0 \\ b ＞ 0 \end{cases} $，$ q $：$ \begin{cases} a + b ＞ 0 \\ ab ＞ 0 \end{cases} $
D.$ p $：$ \begin{cases} a ＞ 1 \\ b ＞ 1 \end{cases} $，$ q $：$ \begin{cases} a + b ＞ 2 \\ ab ＞ 1 \end{cases} $

答案： 9. 解析:对于选项A，由$a = 0$，$b = 0$可得$a + b = 0$，$ab = 0$，反之也成立，所以$q$是$p$的充分必要条件，故A正确。对于选项B，由$a = 1$，$b = 1$可得$a + b = 2$，$ab = 1$；反之也成立，所以$q$是$p$的充分必要条件，故B正确。对于选项C，由$a＞0$，$b＞0$可得$a + b＞0$，$ab＞0$；反之也成立，所以$q$是$p$的充分必要条件，故C正确。对于选项D，由$a＞1$，$b＞1$可得$a + b＞2$，$ab＞1$；反之不成立，如取$a = 6$，$b=\frac{1}{2}$，所以$q$是$p$的必要不充分条件。故D错误。故选ABC。

10. 王安石在《游褒禅山记》中写道：“而世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件。(填“充分”“必要”或“充要”)

答案： 10. 解析:因为“非有志者不能至”，所以“能至”是“有志者”的充分条件，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件。