《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

16. 设集合 $ A = \{ x | x^2 - 1 = 0 \} $，集合 $ B = \{ x | x^2 - ax + b = 0, x \in \mathbf{R} \} $，且 $ B \neq \varnothing $。
（1）若 $ B \subseteq A $，求实数 $ a $，$ b $ 的值；
（2）若 $ A \subseteq C $，且 $ C = \{ -1, 2m + 1, m^2 \} $，求实数 $ m $ 的值。

答案： 16. 解析:
(1)集合$ A=\{1,-1\} $,
若$ B=\{1\} $,根据韦达定理,$ a=1+1=2,b=1 $;
若$ B=\{-1\} $,则$ a=(-1)+(-1)=-2,b=1 $;
若$ B=\{-1,1\} $,则$ a=-1+1=0,b=(-1)×1=-1 $.
(2)集合$ A=\{1,-1\} $,则$ 1\in C $,所以$ 2m+1=1 $或$ m^{2}=1 $,经检验$ m\neq-1 $,故$ m=0 $或$ m=1 $.

17. 已知集合 $ A = \{ x | 2a \leq x \leq a^2 + 1 \} $，$ B = \{ x | x^2 - 3(a + 1)x + 2(3a + 1) \leq 0 \} $，其中 $ a \in \mathbf{R} $。
（1）若 $ 4 \in A $，$ 3 \notin A $，求实数 $ a $ 的取值范围；
（2）若 $ A \subseteq B $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 17. 解析:
(1)因为$ 4\in A $,所以$ 2a\leqslant4\leqslant a^{2}+1 $,
解得$ a\leqslant-\sqrt{3} $或$ \sqrt{3}\leqslant a\leqslant2 $.
又$ 3\notin A $,所以$ 2a＞3 $或$ a^{2}+1＜3 $,
故$ -\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2} $或$ a＞\frac{3}{2} $.
所以若$ 4\in A,3\notin A $,有$ \sqrt{3}\leqslant a\leqslant2 $,
故$ a $的取值范围是$ [\sqrt{3},2] $.
(2)$ B=\{x\mid (x-2)[x-(3a+1)]\leqslant0\} $,
当$ 3a+1=2 $,即$ a=\frac{1}{3} $时,$ B=\{2\} $,不合题意.
当$ 3a+1＜2 $,即$ a＜\frac{1}{3} $时,$ B=\{x\mid 3a+1\leqslant x\leqslant2\} $,
所以$ \begin{cases}3a+1\leqslant2a,\\a^{2}+1\leqslant2,\end{cases} $所以$ \begin{cases}a\leqslant-1,\\-1\leqslant a\leqslant1,\end{cases} $
解得$ a=-1 $.
当$ 3a+1＞2 $,即$ a＞\frac{1}{3} $时,$ B=\{x\mid 2\leqslant x\leqslant3a+1\} $,
所以$ \begin{cases}2a\geqslant2,\\a^{2}+1\leqslant3a+1,\end{cases} $所以$ \begin{cases}a\geqslant1,\\0\leqslant a\leqslant3,\end{cases} $
解得$ 1\leqslant a\leqslant3 $.
综上,实数$ a $的取值范围是$ \{a\mid a=-1或1\leqslant a\leqslant3\} $.

1. 已知集合 $ A = \{ x | x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} $，$ B = \{ x | \frac{1}{x - 3} ＜ a \} $，若 $ A \subseteq B $，则实数 $ a $ 的取值范围是$\left(-\frac{1}{2},+\infty\right)$。

答案： 1. 解析:$ A=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant2\} $.
由$ \frac{1}{x-3}＜a $得$ \frac{-ax+3a+1}{x-3}＜0 $.
当$ a=0 $时,$ B=\{x\mid x＜3\} $,满足$ A\subseteq B $.
当$ a＞0 $时,由$ \frac{-ax+3a+1}{x-3}＜0 $得$ \frac{x-\left(3+\frac{1}{a}\right)}{x-3}＞0 $,故$ B=\left\{x\mid x＜3或x＞3+\frac{1}{a}\right\} $,满足$ A\subseteq B $.
当$ a＜0 $时,由$ \frac{-ax+3a+1}{x-3}＜0 $得$ \frac{x-\left(3+\frac{1}{a}\right)}{x-3}＜0 $,故$ B=\left\{x\mid 3+\frac{1}{a}＜x＜3\right\} $.
由$ A\subseteq B $得$ 3+\frac{1}{a}＜1 $,则$ -\frac{1}{2}＜a＜0 $.
综上所述,$ a $的取值范围是$ \left(-\frac{1}{2},+\infty\right) $.