《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定.
(1) p：对任意的 x∈R，x² + x + 1 = 0 都成立；
(2) p：∃x∈R，x² + 2x + 5 ＞ 0.

答案：
(1) 全称量词命题；¬p：∃x₀∈R，x₀² + x₀ + 1 ≠ 0.
(2) 存在量词命题；¬p：∀x∈R，x² + 2x + 5 ≤ 0.

【例 4】已知命题“∀x∈[0，2]，x² - 2x - m ≥ 0”为真命题，求实数 m 的取值范围.

答案： 例4
解：
命题“∀x∈[0，2]，x² - 2x - m ≥ 0”为真命题，等价于“∀x∈[0，2]，m ≤ x² - 2x恒成立”。
设y = x² - 2x，x∈[0，2]，则y = (x-1)² - 1，
当x=1时，y_min = -1，
故m ≤ -1。
变式
解：
命题“∃x∈[0，2]，x² - 2x - m ≥ 0”为真命题，等价于“∃x∈[0，2]，m ≤ x² - 2x”。
设y = x² - 2x，x∈[0，2]，则y = (x-1)² - 1，
当x=0或x=2时，y_max = 0，
故m ≤ 0。

【例 5】若命题“存在实数 x∈[-2，-1]，使得 x + x² + 3 - m ＜ 0”是假命题，求实数 m 的取值范围.

答案： 因为命题“存在实数$x \in [-2, -1]$，使得$x + x^2 + 3 - m ＜ 0$”是假命题，所以其否定“对任意实数$x \in [-2, -1]$，$x + x^2 + 3 - m \geq 0$恒成立”是真命题，即$m \leq x + x^2 + 3$对任意$x \in [-2, -1]$恒成立。
设$y = x^2 + x + 3$，其对称轴为$x = -\frac{1}{2}$。因为二次函数开口向上，对称轴右侧单调递增，左侧单调递减，所以函数$y = x^2 + x + 3$在区间$[-2, -1]$上单调递减。
当$x = -1$时，$y_{\min} = (-1)^2 + (-1) + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$。
故$m \leq 3$。
综上，实数$m$的取值范围是$(-\infty, 3]$。

【例 6】已知函数 f(x) = $\frac{x}{x² + 6}$，g(x) = x² + 2mx + $\frac{13}{11}$.
(1) 若 f(x) ＜ k 的解集为{x | -3 ＜ x ＜ -2}，求实数 k 的值；
(2) 若对任意的 x₁∈[2，4]，都存在 x₂∈[2，4]，使 f(x₁) ≥ g(x₂)成立，求实数 m 的取值范围.

答案：
(1) 由 $ f(x) ＜ k $ 得 $ \frac{x}{x^2 + 6} ＜ k $，整理得 $ kx^2 - x + 6k ＞ 0 $。
因为解集为 $ \{x | -3 ＜ x ＜ -2\} $，所以 $ k ＜ 0 $，且方程 $ kx^2 - x + 6k = 0 $ 的两根为 $ -3 $ 和 $ -2 $。
由韦达定理，两根之和 $ -3 + (-2) = \frac{1}{k} $，即 $ -5 = \frac{1}{k} $，解得 $ k = -\frac{1}{5} $。
(2) 依题意，需 $ f(x)_{\min} \geq g(x)_{\min} $。
$ f(x) = \frac{x}{x^2 + 6} = \frac{1}{x + \frac{6}{x}} $，$ x \in [2, 4] $。
$ x + \frac{6}{x} $ 在 $ [2, \sqrt{6}] $ 递增，$ [\sqrt{6}, 4] $ 递减，故 $ f(x) $ 在 $ [2, \sqrt{6}] $ 递增，$ [\sqrt{6}, 4] $ 递减。
$ f(2) = \frac{1}{5} $，$ f(4) = \frac{2}{11} $，则 $ f(x)_{\min} = \frac{2}{11} $。
$ g(x) = x^2 + 2mx + \frac{13}{11} $，对称轴 $ x = -m $，$ x \in [2, 4] $。
① 当 $ -m \leq 2 $ 即 $ m \geq -2 $ 时，$ g(x)_{\min} = g(2) = 4 + 4m + \frac{13}{11} \leq \frac{2}{11} $，解得 $ m \leq -\frac{5}{4} $，故 $ -2 \leq m \leq -\frac{5}{4} $；
② 当 $ 2 ＜ -m ＜ 4 $ 即 $ -4 ＜ m ＜ -2 $ 时，$ g(x)_{\min} = g(-m) = -m^2 + \frac{13}{11} \leq \frac{2}{11} $，得 $ m^2 \geq 1 $，解得 $ m ＜ -2 $，故 $ -4 ＜ m ＜ -2 $；
③ 当 $ -m \geq 4 $ 即 $ m \leq -4 $ 时，$ g(x)_{\min} = g(4) = 16 + 8m + \frac{13}{11} \leq \frac{2}{11} $，解得 $ m \leq -\frac{17}{8} $，故 $ m \leq -4 $。
综上，$ m $ 的取值范围是 $ m \leq -\frac{5}{4} $。
(1) $ k = -\frac{1}{5} $；
(2) $ m \leq -\frac{5}{4} $。