《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 5】求下列函数的值域：
(1) $ f(x) = x + \sqrt{1 - x} $；
(2) $ f(x) = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 1}(x ＞ -1) $.

答案：
(1) 令$ t = \sqrt{1 - x} $，则$ t \geq 0 $，$ x = 1 - t^2 $。
$ f(x) = 1 - t^2 + t = -t^2 + t + 1 $。
二次函数$ g(t) = -t^2 + t + 1 $开口向下，对称轴$ t = \frac{1}{2} $。
$ g(t)_{max} = g\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} $。
值域为$ \left(-\infty, \frac{5}{4}\right] $。
(2) 设$ t = x + 1 $，$ x ＞ -1 $则$ t ＞ 0 $，$ x = t - 1 $。
$ f(x) = \frac{(t - 1)^2 + 6(t - 1) + 9}{t} = \frac{t^2 + 4t + 4}{t} = t + \frac{4}{t} + 4 $。
由基本不等式，$ t + \frac{4}{t} \geq 2\sqrt{t · \frac{4}{t}} = 4 $（$ t ＞ 0 $），当且仅当$ t = 2 $（即$ x = 1 $）时取等号。
$ f(x) \geq 4 + 4 = 8 $。
值域为$ [8, +\infty) $。

变式 已知 $ x ＞ 0 $，设 $ t = \frac{xy + 1}{x^2 + y^2 - 3y + 4} $，
(1) 当 $ y = 1 $ 时，$ t $ 的最大值为；
(2) 当 $ y ＞ 0 $ 时，$ t $ 的最大值为.

答案：
(1) 当 $ y = 1 $ 时，$ t = \frac{x + 1}{x^2 + 2} $，整理得 $ tx^2 - x + 2t - 1 = 0 $（$ x ＞ 0 $）。
判别式 $ \Delta = 1 - 4t(2t - 1) = -8t^2 + 4t + 1 \geq 0 $，解得 $ \frac{1 - \sqrt{3}}{4} \leq t \leq \frac{1 + \sqrt{3}}{4} $。
因 $ t ＞ 0 $，故 $ t_{\max} = \frac{1 + \sqrt{3}}{4} $。
(2) 当 $ y ＞ 0 $ 时，整理得 $ tx^2 - xy + t(y^2 - 3y + 4) - 1 = 0 $（$ x ＞ 0 $）。
判别式 $ \Delta = (1 - 4t^2)y^2 + 12t^2y - 4t(4t - 1) \geq 0 $（$ y ＞ 0 $）。
对关于 $ y $ 的二次不等式，分析得 $ t \leq 1 $，当 $ x = 1 $，$ y = 2 $ 时取等号，故 $ t_{\max} = 1 $。
(1) $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$；
(2) $1$

【例 6】某药材厂生产某种中药产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间时，其生产总成本 $ y $ (万元) 与年产量 $ x $ (吨) 之间的函数关系式近似地表示为 $ y = \frac{x^2}{10} - 30x + 4000 $.
(1) 每吨产品的平均出厂价为 16 万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润.
(2) 年产量为多少吨时，每吨产品的平均成本最低？并求出最低成本.

答案：
(1) 设年利润为$f(x)$万元，由题意得：
$\begin{aligned}f(x)&=16x - \left(\frac{x^2}{10} - 30x + 4000\right)\\&=-\frac{x^2}{10} + 46x - 4000\\&=-\frac{1}{10}(x - 230)^2 + 1290\quad(150 \leq x \leq 250)\end{aligned}$
当$x = 230$时，$f(x)_{\max} = 1290$。
故年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元。
(2) 设每吨产品的平均成本为$t$万元，由题意得：
$t = \frac{y}{x} = \frac{x}{10} + \frac{4000}{x} - 30$
因为$\frac{x}{10} + \frac{4000}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{10} · \frac{4000}{x}} = 40$，当且仅当$\frac{x}{10} = \frac{4000}{x}$，即$x = 200$时取等号。
所以$t \geq 40 - 30 = 10$。
故年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，最低成本为10万元。