《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经调研可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当这种产品的销售数量为$t$（单位：百件）时，销售所得的收入约为$5t-\frac{1}{2}t^2$（万元）.
(1)若该公司的年产量为$x$（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量$x$的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

答案：
(1) 当$0 ＜ x \leq 5$时，$f(x) = \left(5x - \frac{1}{2}x^2\right) - (0.5 + 0.25x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4.75x - 0.5$；当$x ＞ 5$时，$f(x) = \left(5×5 - \frac{1}{2}×5^2\right) - (0.5 + 0.25x) = 12 - 0.25x$。
故$f(x)=\begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 4.75x - 0.5, & 0 ＜ x \leq 5, \\ 12 - 0.25x, & x ＞ 5. \end{cases}$
(2) 当$0 ＜ x \leq 5$时，$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4.75x - 0.5$，对称轴为$x = 4.75$，此时$f(x)_{\max} = 10.78125$；当$x ＞ 5$时，$f(x) = 12 - 0.25x$单调递减，$f(x) ＜ 10.75$。
故当年产量为475件时，当年所得利润最大。