《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】求下列函数的定义域：
(1) $ y = \sqrt{\log_{2}(x - 2)} $；
(2) $ y = \log_{3}\frac{|x - 1|}{x + 1} $。

答案：
(1) 要使函数$y = \sqrt{\log_{2}(x - 2)}$有意义，需满足$\log_{2}(x - 2) \geq 0$。因为对数函数$\log_{2}a$中，当$a \geq 1$时，函数值$\geq 0$，所以$x - 2 \geq 1$，解得$x \geq 3$。定义域为$\{x|x \geq 3\}$。
(2) 要使函数$y = \log_{3}\frac{|x - 1|}{x + 1}$有意义，需满足$\frac{|x - 1|}{x + 1} ＞ 0$。因为分子$|x - 1| \geq 0$，且$|x - 1| = 0$时，$x = 1$，此时分式值为$0$，不满足大于$0$，所以$|x - 1| ＞ 0$，即$x \neq 1$；同时分母$x + 1 ＞ 0$，即$x ＞ -1$。综上，$x ＞ -1$且$x \neq 1$，定义域为$(-1, 1) \cup (1, +\infty)$。