《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】已知角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$，求$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\tan \alpha$的值。

答案： 由三角函数的定义：
因为角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$，所以$x = \dfrac{1}{2}$，$y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
$\sin\alpha = y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；
$\cos\alpha = x = \dfrac{1}{2}$；
$\tan\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = -\sqrt{3}$。
综上，$\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$，$\tan\alpha = -\sqrt{3}$。

变式 已知角$\alpha$的终边在直线$y = -\sqrt{3}x$上，求$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\tan \alpha$的值。

答案： 在角$\alpha$的终边上任取一点$P(m,-\sqrt{3}m)(m\neq 0)$，则$r = |OP| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{m^{2} + (-\sqrt{3}m)^{2}} = \sqrt{m^{2} + 3m^{2}} = \sqrt{4m^{2}} = 2|m|$。
当$m ＞ 0$时，$r = 2m$，$\sin \alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{-\sqrt{3}m}{2m} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha = \dfrac{x}{r} = \dfrac{m}{2m} = \dfrac{1}{2}$，$\tan \alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-\sqrt{3}m}{m} = -\sqrt{3}$；
当$m ＜ 0$时，$r = -2m$，$\sin \alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{-\sqrt{3}m}{-2m} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha = \dfrac{x}{r} = \dfrac{m}{-2m} = -\dfrac{1}{2}$，$\tan \alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-\sqrt{3}m}{m} = -\sqrt{3}$。
综上，当$m ＞ 0$时，$\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$，$\tan \alpha = -\sqrt{3}$；当$m ＜ 0$时，$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha = -\dfrac{1}{2}$，$\tan \alpha = -\sqrt{3}$。

【例 2】(多选)已知$x\in \left\{\alpha \left\vert \alpha \neq \dfrac{k\pi }{2}\right.,k\in \mathbf{Z}\right\}$，则函数$y = \dfrac{\sin x}{|\sin x|} + \dfrac{\cos x}{|\cos x|} - \dfrac{\tan x}{|\tan x|}$的值可能为()

A.$3$
B.$-3$
C.$1$
D.$-1$

答案： BC