《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】下列命题中，哪些命题中的 $ p $ 是 $ q $ 的充分条件？哪些命题中的 $ p $ 是 $ q $ 的必要条件？
(1) 命题 $ p $：$(x - 2)(x - 3) = 0$，命题 $ q $：$x - 2 = 0$；
(2) 命题 $ p $：四边形为菱形，命题 $ q $：四边形的对角线互相垂直；
(3) 命题 $ p $：$c = 0$，命题 $ q $：抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 过原点；
(4) 命题 $ p $：$x ＞ \frac{1}{a}$，命题 $ q $：$x ＞ \frac{1}{a} + 1$；
(5) 命题 $ p $：$x \geq \frac{1}{2}$，命题 $ q $：$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$；
(6) 命题 $ p $：$a ＜ b$，命题 $ q $：$|a - b| \geq a - b$。

答案：
(1) 由$p$：$(x - 2)(x - 3) = 0$得$x = 2$或$x = 3$，$q$：$x = 2$。$p \nRightarrow q$，$q \Rightarrow p$，故$p$是$q$的必要条件。
(2) 菱形的对角线互相垂直，$p \Rightarrow q$；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，$q \nRightarrow p$，故$p$是$q$的充分条件。
(3) 抛物线$y = ax^2 + bx + c$过原点$\Leftrightarrow c = 0$，$p \Rightarrow q$且$q \Rightarrow p$，故$p$是$q$的充分条件且必要条件。
(4) $x ＞ \frac{1}{a} + 1$时必有$x ＞ \frac{1}{a}$，$q \Rightarrow p$；$x ＞ \frac{1}{a}$时未必有$x ＞ \frac{1}{a} + 1$，$p \nRightarrow q$，故$p$是$q$的必要条件。
(5) 由$q$：$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$解得$x = \frac{1}{2}$，$p$：$x \geq \frac{1}{2}$，$p \nRightarrow q$，$q \Rightarrow p$，故$p$是$q$的必要条件。
(6) 若$a ＜ b$，则$|a - b| = b - a \geq a - b$，$p \Rightarrow q$；若$|a - b| \geq a - b$，则$a \leq b$，$q \nRightarrow p$，故$p$是$q$的充分条件。
充分条件的命题：
(2)
(3)
(6)；必要条件的命题：
(1)
(3)
(4)
(5)。