《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

12. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业$A$公司扩大生产提供$x$（$x\in[0,10]$，单位：万元）的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服.$A$公司在收到政府$x$万元补贴后，防护服产量将增加到$t = k·(6-\frac{12}{x + 4})$万件，其中$k$为工厂工人的复工率（$k\in[0.5,1]$）.$A$公司生产$t$万件防护服还需投入成本$(20 + 9x + 50t)$万元.
(1)将$A$公司生产防护服的利润$y$（万元）表示为补贴$x$（万元）的函数（政府补贴$x$万元计入公司收入）；
(2)在复工率为$k$时，政府补贴多少万元才能使$A$公司的防护服利润达到最大？
(3)对任意的$x\in[0,10]$，当复工率$k$达到多少时，$A$公司才能不亏损？（精确到 0.01）

答案： 12. 解析:
(1)由题意，$y = x + 80t-(20 + 9x + 50t)=30t - 8x - 20 = 30k·\left(6-\frac{12}{x + 4}\right)-8x - 20 = 180k-\frac{360k}{x + 4}-8x - 20$，$x\in[0,10]$，$k\in[0.5,1]$。
(2)$y = 180k-\frac{360k}{x + 4}-8x - 20 = 180k + 12 - 8\left[(x + 4)+\frac{45k}{x + 4}\right]$。
因为$x\in[0,10]$，所以$4\leqslant x + 4\leqslant 14$，所以$(x + 4)+\frac{45k}{x + 4}\geqslant 2\sqrt{(x + 4)×\frac{45k}{x + 4}} = 6\sqrt{5k}$，当且仅当$x + 4=\frac{45k}{x + 4}$，即$x = 3\sqrt{5k}-4$时，等号成立。
所以$y = 180k + 12 - 8\left[(x + 4)+\frac{45k}{x + 4}\right]\leqslant 180k + 12 - 48\sqrt{5k}$，故政府补贴为$3\sqrt{5k}-4$万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为$180k + 12 - 48\sqrt{5k}$万元。
(3)对任意的$x\in[0,10]$，A公司都不亏损，则$180k-\frac{360k}{x + 4}-8x - 20\geqslant 0$在$[0,10]$上恒成立，不等式整理得，$180k\geqslant\frac{(20 + 8x)(x + 4)}{x + 2}$。
令$m = x + 2$，则$m\in[2,12]$，则$\frac{(20 + 8x)(x + 4)}{x + 2}=\frac{(8m + 4)(m + 2)}{m}=8m+\frac{8}{m}+20$。
由函数$h(m)=8m+\frac{8}{m}+20$在$[2,12]$上单调递增，可得$h(m)_{max} = h(12)=8× 12+\frac{8}{12}+20 = 116+\frac{2}{3}$，所以$180k\geqslant 116+\frac{2}{3}$，即$k\geqslant\frac{116+\frac{2}{3}}{180}\approx 0.65$。所以当复工率k达到0.65时，对任意的$x\in[0,10]$，A公司都不亏损。

1. 已知圆柱形水杯的质量为$a$克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为$b$克的水恰好装满水杯，装满水后，水杯的重心还在圆柱轴的中点处.
(1)若$b = 3a$，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
(2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

答案： 1. 解析:不妨设水杯高为1个单位。
(1)由题意可知，当装了半杯水后，杯子质量:水的质量$ = a:\frac{b}{2}$。
因为$b = 3a$，所以杯子质量:水的质量$ = 2:3$，即杯子质量占总质量的$\frac{2}{5}$，水的质量占总质量的$\frac{3}{5}$。
又因为杯子的重心位置(这里的重心位置指重心到水杯底面的距离)为$\frac{1}{2}$，水的重心位置为$\frac{1}{4}$，所以装入半杯水后的水杯的重心位置为$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{4}×\frac{3}{5}=\frac{7}{20}$，故装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高度的比值为$\frac{7}{20}:1=\frac{7}{20}$。
(2)设装入x克水后的水杯的重心位置为y，将问题转化为：求当x为何值时，y最小。
当装入x克水后，杯子质量:水的质量$ = a:x$，即杯子占总质量的$\frac{a}{a + x}$，水占总质量的$\frac{x}{a + x}$，杯子的重心位置为$\frac{1}{2}$。
因为装入b克水，水的高度为1，所以装入x克水，水的高度为$\frac{x}{b}$，故x克水的重心位置为$\frac{x}{2b}$，所以装入x克水后的水杯的重心位置为$y = f(x)=\frac{1}{2}×\frac{a}{a + x}+\frac{x}{2b}×\frac{x}{a + x}=\frac{x^{2}+ab}{2bx + 2ab}(a＞0,b＞0,x＞0)$。
所以$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{x_{1}^{2}+ab}{2bx_{1}+2ab}-\frac{x_{2}^{2}+ab}{2bx_{2}+2ab}=\frac{(x_{1}^{2}+ab)(x_{2}+a)-(x_{2}^{2}+ab)(x_{1}+a)}{2b(x_{1}+a)(x_{2}+a)}=\frac{(x_{1}-x_{2})[x_{1}x_{2}-ab + a(x_{1}+x_{2})]}{2b(x_{1}+a)(x_{2}+a)}$。
当$x_{1}＞x_{2}＞\sqrt{a^{2}+ab}-a$时，$x_{1}x_{2}＞(\sqrt{a^{2}+ab}-a)^{2}=2a^{2}+ab - 2a\sqrt{a^{2}+ab}$，$x_{1}+x_{2}＞2\sqrt{a^{2}+ab}-2a$，所以$x_{1}x_{2}-ab + a(x_{1}+x_{2})＞(\sqrt{a^{2}+ab}-a)^{2}-ab + a(2\sqrt{a^{2}+ab}-2a)=0$；所以$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$，所以$f(x)$在$(\sqrt{a^{2}+ab}-a,+\infty)$上递增。
同理$f(x)$在$(0,\sqrt{a^{2}+ab}-a)$上递减。
故当$x=\sqrt{a^{2}+ab}-a$时，即装入$(\sqrt{a^{2}+ab}-a)$克的水后使装入水后的水杯的重心最低。