《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

$【$例$ 6】$设集合$ A = \{ 1, 2, 4 \} ，$$ B = \{ x \in \mathbf { Z } | x ^ { 2 } - 4 x + m ＜ 0 \} . $若$ A \cap B = \{ 1, 2 \} ，$则$ A \cup B = ($　　$D$　　$)$　　
A.$ \{ 1, 2, 3 \} $
B.$ \{ 1, 2, 4 \} $
C.$ \{ 0, 1, 2, 3 \} $
D.$ \{ 1, 2, 3, 4 \} $

答案： 解析 由题意可得 $ 1 $，$ 2 $ 是不等式 $ x ^ { 2 } - 4 x + m ＜ 0 $ 的解集内的整数值，$ 4 $ 不是不等式 $ x ^ { 2 } - 4 x + m ＜ 0 $ 的解集内的整数值，且不等式 $ x ^ { 2 } - 4 x + m ＜ 0 $ 的解集关于 $ x = 2 $ 对称.
因为 $ 1 $ 是解集内的整数值，所以 $ 3 $ 也是解集内的整数值，所以 $ B = \{ 1, 2, 3 \} $，所以 $ A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $. 故选 D.

【例 7】设 $ U $ 为全集，$ M $，$ P $ 是两个非空集合，定义 $ M $ 与 $ P $ 的“差集” $ M - P = \{ x | x \in M $ 且 $ x \notin P \} $，则 $ M - ( M - P ) = $ (B)

A. $ P $
B. $ M \cap P $

C. $ M \cup P $

D. $ M $

答案：
解析 ① 当 $ M \cap P \neq \varnothing $ 时，根据题意画出韦恩图，

如图，$ M - ( M - P ) = M \cap P $.
② 当 $ M \cap P = \varnothing $ 时，$ M - ( M - P ) = M - M = \varnothing = M \cap P $.
综上，$ M - ( M - P ) = M \cap P $，故选 B.
点睛 凡是遇到抽象的集合运算题，可以尝试利用韦恩图求解. 本题也可用举例法求解，如 $ M = \{ 2, 4 \} $，$ P = \{ 1, 3, 5 \} $，根据定义得出所求集合为空集. 故选 B.

【例 8】已知集合 $ A = \{ x | x \geqslant 1 $ 或 $ x \leqslant - 2 \} $，$ B = \{ y | y = x ^ { 2 } + 3 x - 1, x ＞ 0 \} $.
(1) 求 $ A \cap B $，$ ( \complement$${ \mathbf { R } } A ) \cup B $；
(2) 若集合 $ C = \{ x | m - 2 \leqslant x \leqslant 2 m \} $，且 $ ( \complement$${ \mathbf { R } } A ) \cap C = C $，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1) 因为 $ A = \{ x | x \geqslant 1 $ 或 $ x \leqslant - 2 \} $，所以 $ \complement$

${ \mathbf { R } } A = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $.
$ B = \{ y | y = x ^ { 2 } + 3 x - 1, x ＞ 0 \} = \{ y | y ＞ - 1 \} $，
所以 $ A \cap B = \{ x | x \geqslant 1 \} $，$ ( \complement$

${ \mathbf { R } } A ) \cup B = \{ x | x ＞ - 2 \} $.
(2) 由 $ \complement$

${ \mathbf { R } } A \cap C = C $ 知 $ C \subseteq \complement$

${ \mathbf { R } } A = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $.
当 $ C = \varnothing $ 时，$ m - 2 ＞ 2 m $，所以 $ m ＜ - 2 $；
当 $ C \neq \varnothing $ 时，$ \left\{ \begin{array} { l } { m - 2 \leqslant 2 m } \\ { m - 2 ＞ - 2 } \\ { 2 m ＜ 1 } \end{array} \right. $，
所以 $ 0 ＜ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $，
故实数 $ m $ 的取值范围是 $ m ＜ - 2 $ 或 $ 0 ＜ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $.
点睛 若两个集合的交或并为其中一个集合，则这两个集合一定是包含关系. 解决含参数的包含关系问题，要考虑空集的情况.