《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 已知定义在 $ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $ 上的函数 $ f(x) $ 满足：对任意的 $ x, y \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $，都有 $ f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)} $，且当 $ 0 ＜ x ＜ \frac{1}{2} $ 时，$ f(x) ＞ 0 $.
(1) 判断 $ f(x) $ 在 $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $ 上的单调性并证明；
(2) 求实数 $ t $ 的值，使得关于 $ x $ 的不等式 $ f\left(t - \frac{1}{2}x\right) + f(x) ＞ 0 $ 在 $ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $ 上恒成立.

答案：
(1) 单调递增；
(2) $\frac{1}{4}$