《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 2】计算下列各式.
(1) $ \log$${(2+\sqrt{3})}(2-\sqrt{3}) $； (2) $ \log$${9} 27 $；
(3) $ \log$${\sqrt{5^{3}}} 125 $； (4) $ \log$${\sqrt[3]{3}} 27 $.

答案：
(1) $\log_{(2+\sqrt{3})}(2-\sqrt{3})=\log_{(2+\sqrt{3})}(2+\sqrt{3})^{-1}=-1$
(2) $\log_{9}27=\log_{3^2}3^3=\frac{3}{2}\log_{3}3=\frac{3}{2}$
(3) $\log_{\sqrt{5^3}}125=\log_{5^{\frac{3}{2}}}5^3=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2$
(4) $\log_{\sqrt[3]{3}}27=\log_{3^{\frac{1}{3}}}3^3=\frac{3}{\frac{1}{3}}=9$

【例 3】计算：$ \frac{\left(1-\log$${6} 3\right)^{2}+\log$${6} 2 · \log$${6} 18}{\log$${6} 8} $.

答案： 解答过程
$\begin{aligned}&\frac{(1 - \log_{6}3)^{2} + \log_{6}2 · \log_{6}18}{\log_{6}8}\\=&\frac{1 - 2\log_{6}3 + (\log_{6}3)^{2} + \log_{6}\frac{6}{3} · \log_{6}(6 × 3)}{\log_{6}8}\\=&\frac{1 - 2\log_{6}3 + (\log_{6}3)^{2} + (1 - \log_{6}3)(1 + \log_{6}3)}{\log_{6}8}\\=&\frac{1 - 2\log_{6}3 + (\log_{6}3)^{2} + 1 - (\log_{6}3)^{2}}{\log_{6}8}\\=&\frac{2 - 2\log_{6}3}{\log_{6}8}\\=&\frac{2(1 - \log_{6}3)}{3\log_{6}2}\\=&\frac{2\log_{6}\frac{6}{3}}{3\log_{6}2}\\=&\frac{2\log_{6}2}{3\log_{6}2}\\=&\frac{2}{3}\end{aligned}$
最终结论
$\boxed{\frac{2}{3}}$

【例 4】设 $ a $，$ b $，$ c $ 为正数，且满足 $ a^{2}+b^{2}=4 c^{2} $，求证：$ \log$${2}\left(1+\frac{b+2 c}{a}\right)+\log$${2}\left(1+\frac{a-2 c}{b}\right)=1 $.

答案： 证明：
$\begin{aligned}&\log_{2}\left(1+\frac{b+2c}{a}\right)+\log_{2}\left(1+\frac{a-2c}{b}\right)\\=&\log_{2}\left(\frac{a+b+2c}{a}\right)+\log_{2}\left(\frac{a+b-2c}{b}\right)\\=&\log_{2}\left[\frac{(a+b+2c)(a+b-2c)}{ab}\right]\\=&\log_{2}\left[\frac{(a+b)^2-(2c)^2}{ab}\right]\\=&\log_{2}\left[\frac{a^2+2ab+b^2-4c^2}{ab}\right]\\=&\log_{2}\left[\frac{4c^2+2ab-4c^2}{ab}\right]\\=&\log_{2}\left[\frac{2ab}{ab}\right]\\=&\log_{2}2\\=&1\end{aligned}$
结论成立。

变式 设 $ a $，$ b $，$ c $ 为正数，且满足 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $，若 $ \log$${16}(a+b-c)=\frac{1}{4} $，$ \log$${5}(2 a+b-c)=1 $，求 $ a $，$ b $，$ c $ 的值.

答案： 因为$\log_{16}(a + b - c)=\frac{1}{4}$，根据对数定义可得$a + b - c=16^{\frac{1}{4}}=(2^4)^{\frac{1}{4}}=2$，记为①式；
因为$\log_{5}(2a + b - c)=1$，根据对数定义可得$2a + b - c=5^1=5$，记为②式；
②式减①式得：$(2a + b - c)-(a + b - c)=5 - 2$，化简得$a=3$；
将$a=3$代入①式得：$3 + b - c=2$，即$c=b + 1$；
又因为$a^2 + b^2=c^2$，将$a=3$，$c=b + 1$代入得：$3^2 + b^2=(b + 1)^2$，即$9 + b^2=b^2 + 2b + 1$；
化简得$9=2b + 1$，解得$b=4$；
则$c=b + 1=4 + 1=5$。
综上，$a=3$，$b=4$，$c=5$。

【例 5】20 世纪 30 年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 $ M $，其计算公式为 $ M=\lg A-\lg A_{0} $，其中 $ A $ 是被测地震的最大振幅，$ A_{0} $ 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
(1) 假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 $ 0.001 $，试计算这次地震的震级；（精确到 $ 0.1 $）
(2) 5 级地震给人的震感已比较明显，那么 $ 7.6 $ 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍？（精确到 1）

答案：
(1) $M = \lg 20 - \lg 0.001 = \lg \frac{20}{0.001} = \lg 20000 = \lg (2 × 10^4) = \lg 2 + \lg 10^4 \approx 0.3010 + 4 = 4.3$
(2) 由 $M = \lg A - \lg A_0$ 得 $\frac{A}{A_0} = 10^M$，即 $A = A_0 · 10^M$。设 7.6 级地震最大振幅为 $A_1$，5 级地震最大振幅为 $A_2$，则 $A_1 = A_0 · 10^{7.6}$，$A_2 = A_0 · 10^5$，$\frac{A_1}{A_2} = \frac{10^{7.6}}{10^5} = 10^{2.6} \approx 398$