《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 与 $240^{\circ}$ 角终边相同的角的集合是(D)

A.$\left\{ \alpha | \alpha = k\pi + \dfrac{5}{3}\pi, k \in \mathbf{Z} \right\}$
B.$\left\{ \alpha | \alpha = 2k\pi + \dfrac{5}{3}\pi, k \in \mathbf{Z} \right\}$
C.$\left\{ \alpha | \alpha = k\pi + \dfrac{4}{3}\pi, k \in \mathbf{Z} \right\}$
D.$\left\{ \alpha | \alpha = 2k\pi + \dfrac{4}{3}\pi, k \in \mathbf{Z} \right\}$

答案： 1.解析:因为240°=$\frac{4π}{3}$，所以与240°角终边相同的角的集合是{$\alpha$|$\alpha$ = 2$k\pi$+$\frac{4}{3}\pi$,$k\in\mathbf{Z}$}，故选D.

2. 已知 $\alpha$ 是第二象限角，则 $\dfrac{\alpha}{3}$ 是(B)

A.第一、第二或第三象限角
B.第一、第二或第四象限角
C.第一、第三或第四象限角
D.第二、第三或第四象限角

答案： 2.解析:因为$\alpha$是第二象限角，
所以2$k\pi$+$\frac{\pi}{2}$＜$\alpha$＜2$k\pi$+$\pi$,$k\in\mathbf{Z}$，
即$\frac{2k\pi}{3}$+$\frac{\pi}{6}$＜$\frac{\alpha}{3}$＜$\frac{2k\pi}{3}$+$\frac{\pi}{3}$,$k\in\mathbf{Z}$.
当$k$ = 3$n$,$n\in\mathbf{Z}$时，2$n\pi$+$\frac{\pi}{6}$＜$\frac{\alpha}{3}$＜2$n\pi$+$\frac{\pi}{3}$，为第一象限角；
当$k$ = 3$n$ + 1,$n\in\mathbf{Z}$时，2$n\pi$+$\frac{5\pi}{6}$＜$\frac{\alpha}{3}$＜2$n\pi$+$\pi$，为第二象限角；
当$k$ = 3$n$ + 2,$n\in\mathbf{Z}$时，2$n\pi$+$\frac{3\pi}{2}$＜$\frac{\alpha}{3}$＜2$n\pi$+$\frac{5\pi}{3}$，为第四象限角，
故选B.

3. “$\alpha$ 是锐角”是“$\alpha$ 是第一象限角”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 3.解析:因为“$\alpha$是锐角”能推出“$\alpha$是第一象限角”，但是反之不成立，例如380°是第一象限角，但不是锐角，所以“$\alpha$是锐角”是“$\alpha$是第一象限角”的充分不必要条件，故选A.

4. 集合 $\left\{ \alpha | k\pi + \dfrac{\pi}{4} \leq \alpha \leq k\pi + \dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z} \right\}$ 中的角所表示的范围(阴影部分)是(C)

答案： 4.解析:集合中角$\alpha$的终边落在直线$y = x$与$y$轴之间，故选C.

5. 一个圆心角为 $60^{\circ}$ 的扇形，它的弧长是 $4\pi$，则扇形的内切圆(与扇形的弧和半径都相切的圆)的半径等于(B)

A.$2$
B.$4$
C.$2\pi$
D.$4\pi$

答案：
5.解析:如图，设扇形内切圆的半径为$x$，扇形所在圆的半径为$r$，过点$O$作$OD\perp CD$，

在$Rt\triangle CDO$中，可得$CO=\frac{OD}{\sin30^{\circ}} = 2x$，
所以扇形的半径为$r = 2x + x = 3x$.
又由扇形的弧长公式可得$\frac{\pi}{3}×3x = 4\pi$，解得$x = 4$，即扇形的内切圆的半径等于4，故选B.

6. 已知 $\alpha$ 是任意角，则 $\alpha$ 的终边与 $\alpha + 3\pi$ 的终边(A)

A.关于原点对称
B.关于 $x$ 轴对称
C.关于 $y$ 轴对称
D.关于直线 $y = x$ 轴对称

答案： 6.解析:因为角$\alpha + 3\pi$的终边与角$\alpha + \pi$的终边相同，又角$\alpha + \pi$的终边与角$\alpha$的终边关于原点对称，所以角$\alpha$的终边与角$\alpha + 3\pi$的终边关于原点对称，故选A.

7. 设地球半径为 $R$，$P$，$Q$ 是地球上两点，点 $P$ 在北纬 $30^{\circ}$、东经 $20^{\circ}$，点 $Q$ 在北纬 $30^{\circ}$、东经 $140^{\circ}$，则 $P$，$Q$ 两点截北纬 $30^{\circ}$ 纬圈上的劣弧长为(A)

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi R$
B.$\pi R$
C.$\sqrt{3}\pi R$
D.$\dfrac{2}{3}\pi R$

答案：
7.解析:如图，设地球北纬30°纬线圈的圆心为$C$，
因为点$P$在北纬30°、东经20°，点$Q$在北纬30°、东经140°，所以$\angle PCQ = 140^{\circ}-20^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle CQO = 30^{\circ}$，$OQ = R$.
在$Rt\triangle OCQ$中，$CQ = OQ×\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
所以$CP=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，所以北纬30°纬线圈的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
所以$P$，$Q$两点截北纬30°纬线圈上的劣弧长为$2\pi×\frac{\sqrt{3}}{2}R×\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi R$，故选A.

8. 斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形 $ABCD \left( \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)$ 中作正方形 $ABFE$，以 $F$ 为圆心，$AB$ 长为半径作 $\overset{\frown}{BE}$；然后在矩形 $CDEF$ 中作正方形 $DEHG$，以 $H$ 为圆心，$DE$ 长为半径作 $\overset{\frown}{EG}$；$·s$；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线. 记 $\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{EG}$，$\overset{\frown}{GI}$ 的长度分别为 $l$，$m$，$n$，对于以下四个命题：① $l = m + n$；② $m^{2} = ln$；③ $2m = l + n$；④ $\dfrac{2}{m} = \dfrac{1}{l} + \dfrac{1}{n}$，其中正确的是(A)


A.①②
B.①④
C.②③
D.③④

答案： 8.解析:不妨设$AB=\sqrt{5}-1$，则$BC = 2$，所以$l=\overgroup{BE}=\frac{\pi}{2}×(\sqrt{5}-1)$，$ED = 2 - (\sqrt{5}-1)=3 - \sqrt{5}$，
所以$m=\overgroup{EG}=\frac{\pi}{2}×(3 - \sqrt{5})$，
$CG=\sqrt{5}-1-(3 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}-4$，
所以$n=\overgroup{GI}=\frac{\pi}{2}×(2\sqrt{5}-4)=(\sqrt{5}-2)\pi$，
所以$m + n=\frac{\pi}{2}×(3 - \sqrt{5})+\frac{\pi}{2}×(2\sqrt{5}-4)=\frac{\pi}{2}×(\sqrt{5}-1)=l$，故①正确.
$m^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}×(3 - \sqrt{5})^{2}=\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\pi^{2}$，
$ln=\frac{\pi}{2}×(\sqrt{5}-1)×(\sqrt{5}-2)\pi=\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\pi^{2}$，
所以$m^{2}=ln$，故②正确.
$l + n=\frac{\pi}{2}×(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}-2)\pi=\frac{3\sqrt{5}-5}{2}\pi$，
$2m = 2×\frac{\pi}{2}×(3 - \sqrt{5})=(3 - \sqrt{5})\pi$，
所以$2m\neq l + n$，故③不正确.
$\frac{1}{l}+\frac{1}{n}=\frac{l + n}{ln}=\frac{\frac{3\sqrt{5}-5}{2}\pi}{\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\pi^{2}}=\frac{3\sqrt{5}+5}{2\pi}$，
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}×(3 - \sqrt{5})}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2\pi}$，
所以$\frac{2}{m}\neq\frac{1}{l}+\frac{1}{n}$，故④不正确.
故选A.