《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

11. 下列命题中：
① 若 $ a ＞ b $，$ c ＜ 0 $，则 $ \frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b} $；
② “$ a ＞ 1 $，$ b ＞ 1 $”是“$ ab ＞ 1 $”的充分不必要条件；
③ 若 $ a ＜ 0 $，则 $ a + \frac{1}{a} \leq -2 $；
④ “$ a ＞ b $”是“$ ac^2 ＞ bc^2 $”的必要不充分条件，
正确命题的序号为②③④。

答案： 11. 解析:对于①，若$a＞b$，$c＜0$，则$\frac{c}{a}-\frac{c}{b}=\frac{c(b - a)}{ab}$，由于$ab$符号不确定，故$\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}$错误，故①错误。对于②，当$a＞1$且$b＞1$时，$ab＞1$成立。取$a = - 2$，$b = - 2$，满足$ab＞1$，但“$a＞1$且$b＞1$”不成立，所以“$a＞1$且$b＞1$”是“$ab＞1$”成立的充分不必要条件，故②正确。对于③，若$a＜0$，则$-a＞0$，则$-a+\left(-\frac{1}{a}\right)\geqslant2$，所以$a+\frac{1}{a}\leqslant - 2$，故③正确。对于④，“$a＞b$”不能推出“$ac^{2}＞bc^{2}$”，例如$c = 0$时$ac^{2}＞bc^{2}$就不成立，即充分性不成立；反之，“$ac^{2}＞bc^{2}$”$\Rightarrow$“$a＞b$”，即必要性成立，故④正确。故答案为②③④。

12. 已知命题 $ p $：$ x^2 - 3x - 4 \leq 0 $，命题 $ q $：$ |x - 3| \leq m $，若 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件，则实数 $ m $ 的取值范围是$[4,+\infty)$。

答案： 12. 解析:由$x^{2}-3x - 4\leqslant0$可得$(x + 1)(x - 4)\leqslant0$，解得$-1\leqslant x\leqslant4$。由$|x - 3|\leqslant m$可得$3 - m\leqslant x\leqslant m + 3$。因为$p$是$q$的充分不必要条件，所以$\begin{cases}m + 3\geqslant4\\3 - m\leqslant - 1\end{cases}$，解得$m\geqslant4$，则实数$m$的取值范围是$[4,+\infty)$。

13. 已知 $ 0 ＜ a ＜ 1 $，若不等式 $ ax^2 - (1 + a^2)x + a ＜ 0 $ 成立的必要不充分条件是 $ \frac{1}{3} ＜ x ＜ 3 $，则 $ a $ 的取值范围为$\left(\frac{1}{3},1\right)$。

答案： 13. 解析:由$ax^{2}-(1 + a^{2})x + a＜0$可知$(ax - 1)·(x - a)＜0$，即$(x - a)\left(x - \frac{1}{a}\right)＜0$。由$0＜a＜1$可知$a＜\frac{1}{a}$，所以$a＜x＜\frac{1}{a}$。因为$\frac{1}{3}＜x＜3$是$a＜x＜\frac{1}{a}$的必要不充分条件，所以$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{a}＜3$。又$0＜a＜1$，故$\frac{1}{3}＜a＜1$，即$a$的取值范围为$\left(\frac{1}{3},1\right)$。

14. 设集合 $ A = \{ x | x^2 - 2mx + m^2 - 1 \leq 0 \} $，$ B = \{ x | x^2 - 4x - 5 \leq 0 \} $。
(1) 若 $ m = 5 $，求 $ A \cap B $；
(2) 若“$ x \in A $”是“$ x \in B $”的充分不必要条件，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 14. 解析:
(1)因为$m = 5$，所以$A=\{x|4\leqslant x\leqslant6\}$。因为$B=\{x|-1\leqslant x\leqslant5\}$，所以$A\cap B=\{x|4\leqslant x\leqslant5\}$。
(2)因为“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分不必要条件，所以$A\subseteq B$。因为$A=\{x|m - 1\leqslant x\leqslant m + 1\}$，所以$\begin{cases}m - 1\geqslant - 1\\m + 1＜5\end{cases}$或$\begin{cases}m - 1＞-1\\m + 1\leqslant5\end{cases}$，所以$0\leqslant m\leqslant4$。即实数$m$的取值范围是$[0,4]$。

15. 已知集合 $ A = \{ x | x^2 - 4x + 3 \leq 0 \} $，$ B = $。
若“$ x \in A $”是“$ x \in B $”的必要不充分条件，给出如下三个条件：
① $ \{ x | a - 1 \leq x \leq a \} $；
② $ \{ x | a \leq x \leq a + 2 \} $；
③ $ \{ x | \sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} + 3 \} $，
请从中任选一个补充到横线上。若问题中的 $ a $ 存在，求出 $ a $ 的取值范围。

答案： 15. 解析:若填①，因为$A = \{x|x^{2}-4x + 3\leqslant0\}=[1,3]$，$B=\{x|a - 1\leqslant x\leqslant a\}$。若“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件，则有$B\subsetneqq A$，所以$\begin{cases}a - 1\geqslant1\\a\leqslant3\end{cases}$，解得$2\leqslant a\leqslant3$。若填②，因为$A = \{x|x^{2}-4x + 3\leqslant0\}=[1,3]$，$B=\{x|a\leqslant x\leqslant a + 2\}$，若“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件，则有$B\subsetneqq A$，所以$\begin{cases}a\geqslant1\\a + 2\leqslant3\end{cases}$，解得$a = 1$，此时$A = B$，无解，故不存在实数$a$。若填③，因为$A = \{x|x^{2}-4x + 3\leqslant0\}=[1,3]$，$B=\{x|\sqrt{a}\leqslant x\leqslant\sqrt{a}+ 3\}$，若“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件，则有$B\subsetneqq A$，所以$\begin{cases}\sqrt{a}\geqslant1\\\sqrt{a}+ 3\leqslant3\end{cases}$，不等式组无解，故不存在实数$a$。

16. 设非空集合 $ A = \{ x | -2 \leq x \leq a \} $，$ B = \{ y | y = 2x + 3, x \in A \} $，$ C = \{ z | z = x^2, x \in A \} $，求使 $ C \subseteq B $ 的充要条件。

答案： 16. 解析:由$-2\leqslant x\leqslant a$得$-1\leqslant2x + 3\leqslant2a + 3$，即$B=\{y|-1\leqslant y\leqslant2a + 3\}$。当$-2\leqslant a＜0$时，$C=\{z|a^{2}\leqslant z\leqslant4\}$；当$0\leqslant a\leqslant2$时，$C=\{z|0\leqslant z\leqslant4\}$；当$a＞2$时，$C=\{z|0\leqslant z\leqslant a^{2}\}$，所以，当$-2\leqslant a\leqslant2$时，由$C\subseteq B$可得$2a + 3\geqslant4$，解得$\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant2$，反之亦真，当$a＞2$时，由$C\subseteq B$可得$a^{2}\leqslant2a + 3$，解得$2＜a\leqslant3$，反之亦真，所以$C\subseteq B\Leftrightarrow\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant3$，因此$C\subseteq B$的充要条件是$\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant3$。