《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 当 $ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $ 时，函数 $ f(x) = a^{x + 1} - 2 $ 的图象必经过定点(C)

A.$ (-1, -2) $
B.$ (-1, 0) $
C.$ (-1, -1) $
D.$ (0,0) $

答案： 1. 解析:当$a＞0$且$a\neq1$时,$a^{0}=1$,所以$f(-1)=a^{0}-2=-1$,所以$f(x)$的图象过定点$(-1,-1)$.故选C.

2. 已知 $ a = 0.8^{0.5} $，$ b = 0.8^{0.8} $，$ c = 1.2^{0.5} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系是(D)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ b ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案： 2. 解析:因为函数$y = 0.8^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数,所以$0＜0.8^{0.8}＜0.8^{0.5}＜1$.又$1.2^{0.5}＞1$,所以$c＞a＞b$.故选D.

3. 已知 $ f(x) $ 对定义域内的任意 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 都有 $ f(x_{1})f(x_{2}) = f(x_{1} + x_{2}) $，且当 $ x ＞ 1 $ 时，$ f(x) ＜ 1 $，则称 $ f(x) $ 为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是(B)

A.$ f(x) = 2^{x} $
B.$ f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^{x} $
C.$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $
D.$ f(x) = \log_{2}x $

答案： 3. 解析:由题意,符合题意的函数为指数类型,且需满足$x＞1$时,$f(x)＜1$.故选B.

4. 已知 $ 0 ＜ b ＜ a ＜ 1 $，则(D)

A.$ a^{a} ＞ a^{b} ＞ b^{a} $
B.$ b^{a} ＞ a^{b} ＞ a^{a} $
C.$ a^{a} ＞ b^{a} ＞ a^{b} $
D.$ a^{b} ＞ a^{a} ＞ b^{a} $

答案： 4. 解析:因为$0＜a＜1$,所以指数函数$y = a^{x}$单调递减,又$a＞b$,所以$a^{a}＜a^{b}$,排除选项A,C.另外,根据幂函数的单调性,对于幂函数$y = x^{a}$,由于$a＞0$,所以幂函数$y = x^{a}$在$(0,+\infty)$上单调递增,又$a＞b＞0$,所以$a^{a}＞b^{a}$,所以$a^{b}＞a^{a}＞b^{a}$.故选D.

5. 函数 $ f(x) = a^{x} - \frac{1}{a}(a ＞ 0 $，$ a \neq 1) $ 的图象可能是(D)

答案： 5. 解析:(方法1)当$a＞1$时,将$y = a^{x}$的图象向下平移$\frac{1}{a}$个单位长度得$f(x)=a^{x}-\frac{1}{a}$,由于$0＜\frac{1}{a}＜1$,排除选项A,B.当$0＜a＜1$时,将$y = a^{x}$的图象向下平移$\frac{1}{a}$个单位长度得$f(x)=a^{x}-\frac{1}{a}$,由于$\frac{1}{a}＞1$.故选D.(方法2)函数的图象恒过点$(-1,0)$.故选D.

6. 将甲桶中的 $ a $ 升水缓慢注入空桶乙中，$ t \min $ 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 $ y = ae^{nt} $，假设 $ 5 \min $ 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 $ m \min $，甲桶中的水只有 $ \frac{a}{4} $ 升，则 $ m = $(A)

A.$ 10 $
B.$ 9 $
C.$ 8 $
D.$ 5 $

答案： 6. 解析:由题意,当$t = 5$时,$ae^{5n}=\frac{1}{2}a$,当$t = m$时,$ae^{mn}=\frac{1}{4}a$,结合两式得$m = 10$.故选A.

7. 若对任意的 $ t \in [-2,2] $，不等式 $ a · 2^{t} - 2^{-t} + 1 \geqslant 0 $($ a $ 为常数)恒成立，则实数 $ a $ 的取值范围是(D)

A.$ \left( -\infty, \frac{1}{16} \right] $
B.$ \left( -\infty, \frac{1}{4} \right] $
C.$ \left[ \frac{1}{4}, +\infty \right) $
D.$ [12, +\infty) $

答案： 7. 解析:对任意的$t\in[-2,2]$,不等式$a·2^{t}-2^{-t}+1\geq0$(为常数)恒成立,即不等式$a\geq\left( \frac{1}{2^{t}}\right)^{2}-\frac{1}{2^{t}}$在$t\in[-2,2]$上恒成立.令$m=\frac{1}{2^{t}},m\in\left[ \frac{1}{4},4\right]$,则$f(m)=m^{2}-m$,$f(m)$在$\left[ \frac{1}{4},4\right]$上有最大值12,所以$a\geq12$.故选D.