《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 3】设$k\in\mathbf{Z}$，化简：
$\frac{\sin(k\pi-\alpha)+\cos(k\pi-\pi-\alpha)}{\sin(k\pi+\pi+\alpha)-\cos(k\pi+\alpha)}$。

答案： 当$k$为偶数时，设$k = 2m$，$m \in \mathbf{Z}$：
分子：$\sin(k\pi - \alpha) + \cos(k\pi - \pi - \alpha) = \sin(2m\pi - \alpha) + \cos(2m\pi - \pi - \alpha) = \sin(-\alpha) + \cos(-\pi - \alpha) = -\sin\alpha + \cos(\pi + \alpha) = -\sin\alpha - \cos\alpha$；
分母：$\sin(k\pi + \pi + \alpha) - \cos(k\pi + \alpha) = \sin(2m\pi + \pi + \alpha) - \cos(2m\pi + \alpha) = \sin(\pi + \alpha) - \cos\alpha = -\sin\alpha - \cos\alpha$；
原式$=\frac{-\sin\alpha - \cos\alpha}{-\sin\alpha - \cos\alpha} = 1$。
当$k$为奇数时，设$k = 2m + 1$，$m \in \mathbf{Z}$：
分子：$\sin(k\pi - \alpha) + \cos(k\pi - \pi - \alpha) = \sin((2m + 1)\pi - \alpha) + \cos((2m + 1)\pi - \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) + \cos(2m\pi - \alpha) = \sin\alpha + \cos\alpha$；
分母：$\sin(k\pi + \pi + \alpha) - \cos(k\pi + \alpha) = \sin((2m + 1)\pi + \pi + \alpha) - \cos((2m + 1)\pi + \alpha) = \sin(2(m + 1)\pi + \alpha) - \cos(\pi + \alpha) = \sin\alpha + \cos\alpha$；
原式$=\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = 1$。
综上，原式$=1$。

【例 4】已知$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sqrt{2}\cos(\frac{3\pi}{2}+\beta)$，$\sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{2}+\beta)$，$0\lt\alpha,\beta\lt\pi$，求$\alpha$，$\beta$。

答案： 由诱导公式化简已知条件得
$\begin{cases}\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\beta,\\\sqrt{3}\cos\alpha=\sqrt{2}\cos\beta\end{cases}$
将两式平方相加：$\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 2(\sin^2\beta + \cos^2\beta)=2$，即$1 - \cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha=2$，解得$\cos^2\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵$0\lt\alpha\lt\pi$，
∴$\alpha=\frac{\pi}{4}$或$\alpha=\frac{3\pi}{4}$。
当$\alpha=\frac{\pi}{4}$时，代入$\sqrt{3}\cos\alpha=\sqrt{2}\cos\beta$得$\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$0\lt\beta\lt\pi$，
∴$\beta=\frac{\pi}{6}$；
当$\alpha=\frac{3\pi}{4}$时，代入$\sqrt{3}\cos\alpha=\sqrt{2}\cos\beta$得$\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$0\lt\beta\lt\pi$，
∴$\beta=\frac{5\pi}{6}$。
综上，
$\begin{cases}\alpha=\frac{\pi}{4},\\\beta=\frac{\pi}{6}\end{cases}$
或
$\begin{cases}\alpha=\frac{3\pi}{4},\\\beta=\frac{5\pi}{6}\end{cases}$

【例 5】在$\triangle ABC$中，已知角$A$，$B$，$C$满足$\sin\frac{A+B-C}{2}=\sin\frac{A-B+C}{2}$，试判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 在$\triangle ABC$中，$A+B+C=\pi$，则$A+B-C=\pi-2C$，$A-B+C=\pi-2B$。
因为$\sin\frac{A+B-C}{2}=\sin\frac{A-B+C}{2}$，所以$\sin\frac{\pi-2C}{2}=\sin\frac{\pi-2B}{2}$，即$\sin\left(\frac{\pi}{2}-C\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-B\right)$。
由诱导公式得$\cos C=\cos B$。
又$B$，$C$为三角形内角，且$0＜B＜\pi$，$0＜C＜\pi$，在$(0,\pi)$内余弦函数单调递减，所以$B=C$。
故$\triangle ABC$为等腰三角形。