《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 2】已知命题 $ p $ 是命题 $ r $ 的充分条件，而命题 $ r $ 是命题 $ q $ 的必要条件，同时也是命题 $ s $ 的充分条件，命题 $ q $ 是命题 $ s $ 的必要条件。
(1) 命题 $ r $ 是命题 $ p $ 的什么条件？
(2) 命题 $ p $ 是命题 $ q $ 的什么条件？
(3) 在命题 $ p $，$ q $，$ r $，$ s $ 中，哪几对互为充要条件？

答案：
(1) 必要条件
(2) 充分条件
(3) r与q；r与s；q与s

【例 3】在下列命题中，$ p $ 是 $ q $ 的什么条件？
(1) 命题 $ p $：四边形是正方形，命题 $ q $：四边形的边相等；
(2) 命题 $ p $：$t \neq 3$，命题 $ q $：$t^2 \neq 9$；
(3) 命题 $ p $：$x ＞ y$，命题 $ q $：$\frac{1}{x} ＜ \frac{1}{y}$。

答案：
(1) 若四边形是正方形，则其四边相等，即 $ p \Rightarrow q $；四边相等的四边形不一定是正方形（如菱形），即 $ q \nRightarrow p $，故 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件。
(2) 若 $ t^2 \neq 9 $，则 $ t \neq 3 $ 且 $ t \neq -3 $，即 $ q \Rightarrow p $；当 $ t = -3 $ 时，$ t \neq 3 $ 但 $ t^2 = 9 $，即 $ p \nRightarrow q $，故 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件。
(3) 取 $ x = 1 $，$ y = -1 $，满足 $ x ＞ y $，但 $ \frac{1}{x} = 1 $，$ \frac{1}{y} = -1 $，此时 $ \frac{1}{x} ＞ \frac{1}{y} $，即 $ p \nRightarrow q $；取 $ x = -1 $，$ y = 1 $，满足 $ \frac{1}{x} = -1 ＜ \frac{1}{y} = 1 $，但 $ x ＜ y $，即 $ q \nRightarrow p $，故 $ p $ 是 $ q $ 的既不充分也不必要条件。

【例 4】已知命题 $ p $：$A = \{ x | x^2 - (a + 1)x + a \leq 0 \} $，命题 $ q $：$B = \{ x | x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} $，当 $ a $ 为何值时，
(1) $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件；
(2) $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件；
(3) $ p $ 是 $ q $ 的充要条件。

答案：
(1) 化简集合：
$A=\{x|(x-a)(x-1)\leq0\}$，当$a＞1$时，$A=[1,a]$；当$a=1$时，$A=\{1\}$；当$a＜1$时，$A=[a,1]$。
$B=\{x|(x-1)(x-2)\leq0\}=[1,2]$。
$p$是$q$的充分不必要条件$\Leftrightarrow A\subsetneqq B$，则$1\leq a＜2$。
(2) $p$是$q$的必要不充分条件$\Leftrightarrow B\subsetneqq A$，则$a＞2$。
(3) $p$是$q$的充要条件$\Leftrightarrow A=B$，则$a=2$。
(1) $1\leq a＜2$；
(2) $a＞2$；
(3) $a=2$。