《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 下列各曲线中，不能表示 $ y $ 是 $ x $ 的函数的是(C)

答案：
1. 解析:函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量$x$与$y$,对于$x$的每一个确定的值,$y$都有唯一的值与其对应,那么就说$y$是$x$的函数,$x$是自变量.如图，选项$C$中,在$x$允许的取值范围内取$x = x_0$,此时函数$y$与之对应的有$2$个值,$y = y_1$,$y = y_2$,不符合函数的定义.
其他三个选项都符合函数的定义.故选$C$.

2. 已知函数 $ f(2x + 1) $ 的定义域为 $ (-2,0) $，则 $ f(x) $ 的定义域是(C)

A.$ (-2,0) $
B.$ (-4,0) $
C.$ (-3,1) $
D.$ \left( -\dfrac{1}{2},1 \right) $

答案： 2. 解析:由$-2 ＜ x ＜ 0$可得$-3 ＜ 2x + 1 ＜ 1$,
因此,函数$f(x)$的定义域是$(-3,1)$.故选$C$.

3. 下列函数 $ f(x) $ 中，满足对任意 $ x_1,x_2 \in (0,+\infty) $，当 $ x_1 \lt x_2 $ 时，都有 $ f(x_1) \gt f(x_2) $ 的是(B)

A.$ f(x) = x^2 $
B.$ f(x) = \dfrac{1}{x} $
C.$ f(x) = |x| $
D.$ f(x) = 2x + 1 $

答案： 3. 解析:当$x_1 ＜ x_2$时,$f(x_1) ＞ f(x_2)$,
所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上为减函数.
对于选项$A$,$y = x^2$在$(0, +\infty)$上为增函数,不符合题意,故$A$错误.
对于选项$B$,$y = \frac{1}{x}$在$(0, +\infty)$上为减函数,符合题意,故$B$正确.
对于选项$C$,$y = |x|$在$(0, +\infty)$上为增函数,不符合题意,故$C$错误.
对于选项$D$,$f(x) = 2x + 1$在$(0, +\infty)$上为增函数,不符合题意,故$D$错误.
故选$B$.

4. 若 $ f(\sqrt{x} + 1) = x + \sqrt{x} $，则 $ f(x) $ 的解析式为(C)

A.$ f(x) = x^2 - x $
B.$ f(x) = x^2 - x(x \geq 0) $
C.$ f(x) = x^2 - x(x \geq 1) $
D.$ f(x) = x^2 + x $

答案： 4. 解析:$f(\sqrt{x} + 1) = x + \sqrt{x}$,
设$\sqrt{x} + 1 = t$,$t \geq 1$,则$x = (t - 1)^2$,
所以$f(t) = (t - 1)^2 + t - 1 = t^2 - t$,
所以函数$f(x) = x^2 - x (x \geq 1)$.故选$C$.

5. 设函数 $ f(x) $，$ g(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(x) $ 是奇函数，$ g(x) $ 是偶函数，则下列结论中正确的是(C)

A.$ f(x)g(x) $ 是偶函数
B.$ |f(x)|g(x) $ 是奇函数
C.$ f(x)|g(x)| $ 是奇函数
D.$ |f(x)g(x)| $ 是奇函数

答案： 5. 解析:易知选项$ABCD$中的函数定义域为$\mathbf{R}$.
因为$f(x)$是奇函数,$g(x)$是偶函数,所以$f(-x) = -f(x)$,$g(-x) = g(x)$.
对于选项$A$,$f(-x)g(-x) = -f(x)g(x)$,故$f(x)g(x)$是奇函数,即$A$错误.
对于选项$B$,$|f(-x)|g(-x) = | - f(x)|g(x) = |f(x)|g(x)$,故$|f(x)|g(x)$是偶函数,即$B$错误.
对于选项$C$,$f(-x)|g(-x)| = -f(x)|g(x)|$,故$f(x)|g(x)|$是奇函数,即$C$正确.
对于选项$D$,$|f(-x)g(-x)| = | - f(x)g(x)| = |f(x)g(x)|$,故$|f(x)g(x)|$是偶函数,即$D$错误.
故选$C$.

6. 设 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数，且 $ f(1 + x) = f(-x) $，若 $ f\left( -\dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{1}{3} $，即 $ f\left( \dfrac{5}{3} \right) = $(C)

A.$ -\dfrac{5}{3} $
B.$ -\dfrac{1}{3} $
C.$ \dfrac{1}{3} $
D.$ \dfrac{5}{3} $

答案： 6. 解析:由题意可得$f\left( \frac{5}{3} \right) = f\left( 1 + \frac{2}{3} \right) = f\left( -\frac{2}{3} \right) = -f\left( \frac{2}{3} \right)$,
而$f\left( \frac{2}{3} \right) = f\left( 1 - \frac{1}{3} \right) = f\left( \frac{1}{3} \right) = -f\left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{1}{3}$,
故$f\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{1}{3}$,故选$C$.

7. 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ y = f(x) $，当 $ x \geq 0 $ 时，$ f(x) = |x - a^2| - a^2 $，若对任意实数 $ x $ 有 $ f(x - a) \leq f(x) $ 成立，则正数 $ a $ 的取值范围为(C)

A.$ \left[ \dfrac{1}{4},+\infty \right) $
B.$ \left[ \dfrac{1}{2},+\infty \right) $
C.$ \left( 0,\dfrac{1}{4} \right] $
D.$ \left( 0,\dfrac{1}{2} \right] $

答案：
7. 解析:由题意得,当$x \geq 0$时,$f(x) = |x - a^2| - a^2$,
写成分段函数$f(x) = \begin{cases} -x + a^2 - a^2, & 0 \leq x \leq a^2, \\ x - a^2 - a^2, & x ＞ a^2, \end{cases} $
化简得$f(x) = \begin{cases} -x, & 0 \leq x \leq a^2, \\ x - 2a^2, & x ＞ a^2. \end{cases} $
又$y = f(x)$为奇函数,故可画出图象如图所示.

又$f(x - a)$可看成$y = f(x)$的图象向右平移$a$个单位长度,
若$f(x - a) \leq f(x)$恒成立,则$a \geq 2a^2 - (-2a^2)$,
即$4a^2 \leq a$.
又$a$为正数,故$0 ＜ a \leq \frac{1}{4}$.故选$C$.

8. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}(2 - [x]) · |x - 1|,0 \leq x \lt 2, \\ 1,x = 2,\end{cases}$ 其中 $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数. 设 $ n \in \mathbf{N}^* $，定义函数 $ f_n(x) $：$ f_1(x) = f(x) $，$ f_2(x) = f(f_1(x)) $，$ ·s $，$ f_n(x) = f(f_{n - 1}(x))(n \geq 2) $，则下列说法中正确的有( )
① $ y = \sqrt{x - f(x)} $ 的定义域为 $ \left[ \dfrac{2}{3},2 \right] $；
② 设集合 $ A = \{0,1,2\} $，集合 $ B = \{x|f_3(x) = x,x \in A\} $，则 $ A = B $；
③ $ f_{2016}\left( \dfrac{8}{9} \right) + f_{2017}\left( \dfrac{8}{9} \right) = \dfrac{13}{9} $；
④ 若 $ M = \{x|f_{12}(x) = x,x \in [0,2]\} $，则 $ M $ 中至少含有 8 个元素.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 8. 解析:当$0 \leq x \leq 1$时,$f(x) = 2(1 - x)$;
当$1 \leq x \leq 2$时,$f(x) = x - 1$,
则$f(x) = \begin{cases} 2(1 - x), & 0 \leq x ＜ 1, \\ x - 1, & 1 \leq x \leq 2. \end{cases} $
对于①,有$x - f(x) \geq 0$,
则$\begin{cases} 0 \leq x ＜ 1, \\ x - 2(1 - x) \geq 0 \end{cases} $或$\begin{cases} 1 \leq x \leq 2, \\ x - (x - 1) \geq 0 \end{cases} $,
解得$\frac{2}{3} \leq x \leq 2$,即定义域为$\left[ \frac{2}{3}, 2 \right]$,故①正确.
对于②,当$x = 0$时,$f_3(0) = f[f_2(0)] = f[f(f(0))] = f[f(2)] = f(1) = 0$,成立;
当$x = 1$时,$f_3(1) = f[f_2(1)] = f[f(f(1))] = f[f(0)] = f(2) = 1$,成立;
当$x = 2$时,$f_3(2) = f[f(f(2))] = f[f(1)] = f(0) = 2$,成立,
所以$A = B$,故②正确.
对于③,$f_1\left( \frac{8}{9} \right) = 2 × \left( 1 - \frac{8}{9} \right) = \frac{2}{9} $,
$f_2\left( \frac{8}{9} \right) = f\left[ f\left( \frac{8}{9} \right) \right] = f\left( \frac{2}{9} \right) = 2 × \left( 1 - \frac{2}{9} \right) = \frac{14}{9} $,
$f_3\left( \frac{8}{9} \right) = f\left[ f_2\left( \frac{8}{9} \right) \right] = f\left( \frac{14}{9} \right) = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9} $,
$f_4\left( \frac{8}{9} \right) = f\left[ f_3\left( \frac{8}{9} \right) \right] = f\left( \frac{5}{9} \right) = 2 × \left( 1 - \frac{5}{9} \right) = \frac{8}{9} $,
一般地,$f_{4k + r}\left( \frac{8}{9} \right) = f_r\left( \frac{8}{9} \right) (k \in \mathbf{N}, r \in \mathbf{N}^*)$,
即有$f_{2016}\left( \frac{8}{9} \right) + f_{2017}\left( \frac{8}{9} \right) = f_4\left( \frac{8}{9} \right) + f_1\left( \frac{8}{9} \right) = \frac{8}{9} + \frac{2}{9} = \frac{10}{9} $,故③不正确.
对于④,由①可知,$f\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} $,
所以$f_n\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} $,则$f_{12}\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} $,所以$\frac{2}{3} \in M $,
由②知,对$x = 0, 1, 2$,恒有$f_3(x) = x$,
所以$f_{12}(x) = x$,则$0, 1, 2 \in M $,
由③知,对$x = \frac{8}{9}, \frac{2}{9}, \frac{14}{9}, \frac{5}{9}$,恒有$f_{12}(x) = x$,所以$\frac{8}{9}, \frac{2}{9}, \frac{14}{9}, \frac{5}{9} \in M $.
综上所述,$\frac{2}{3}, 0, 1, 2, \frac{8}{9}, \frac{2}{9}, \frac{14}{9}, \frac{5}{9} \in M $,所以$M$中至少含有$8$个元素,故④正确.
故选$C$.