《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

2. 已知$\alpha \in [0,2\pi ]$，点$P(1,\tan 2)$是角$\alpha$终边上一点，则$\alpha =$(B)

A.$2$
B.$2 + \pi$
C.$\pi - 2$
D.$2 - \pi$

答案： 2. 解析:因为$\frac{\pi}{2}\lt2\lt\pi$，故$\cos2\lt0$。
因为$P(1,\tan2)$是角$\alpha$终边上一点，
故$\vert OP\vert=\sqrt{1 + \tan^{2}2}=\sqrt{1+\frac{\sin^{2}2}{\cos^{2}2}}=\frac{1}{\vert\cos2\vert}=-\frac{1}{\cos2}$，故$\cos\alpha=-\cos2=\cos(2 + \pi)$，
而$\sin\alpha=-\sin2=\sin(2 + \pi)$，与$2 + \pi$的终边相同，
而$2 + \pi\in[0,2\pi]$，故$\alpha = 2 + \pi$。故选 B.

3. 已知$\sin \theta + \cos \theta = \dfrac{4}{3}$，$\theta \in \left(\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{2}\right)$，则$\sin \theta - \cos \theta =$(D)

A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

答案： 3. 解析:因为$\sin\theta+\cos\theta=\frac{4}{3}$，所以$(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=1 + 2\sin\theta\cos\theta=\frac{16}{9}$，所以$2\sin\theta\cos\theta=\frac{7}{9}$，
所以$(\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1 - 2\sin\theta\cos\theta=\frac{2}{9}$。
因为$\theta\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，所以$\sin\theta\gt\cos\theta$，
即$\sin\theta-\cos\theta\gt0$，所以$\sin\theta-\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{3}$。故选 D.

4. 若角$\alpha$为第三象限角，则$\dfrac{\cos \alpha }{\sqrt{1 - \sin ^{2}\alpha }} + \dfrac{2\sin \alpha }{\sqrt{1 - \cos ^{2}\alpha }} =$(B)

A.$3$
B.$-3$
C.$1$
D.$-1$

答案： 4. 解析:因为角$\alpha$为第三象限角，
所以$\sin\alpha\lt0$，$\cos\alpha\lt0$。因此$\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}+\frac{2\sin\alpha}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{\cos^{2}\alpha}}+\frac{2\sin\alpha}{\sqrt{\sin^{2}\alpha}}=\frac{\cos\alpha}{-\cos\alpha}+\frac{2\sin\alpha}{-\sin\alpha}=-1 - 2=-3$，故选 B.

5. 已知$\tan \alpha = 2$，则$\dfrac{\sin ^{2}\alpha - \cos ^{2}\alpha + 1}{2\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha } =$(A)

A.$\dfrac{8}{9}$
B.$\dfrac{11}{9}$
C.$\dfrac{6}{7}$
D.$\dfrac{4}{7}$

答案： 5. 解析:因为$\tan\alpha = 2$，$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，
所以$\frac{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha + 1}{2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{2\sin^{2}\alpha}{2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{2\tan^{2}\alpha}{2\tan^{2}\alpha + 1}=\frac{8}{9}$。故选 A.

6. 已知$\cos ^{2}\alpha = \sin \alpha$，则$\dfrac{1}{\sin \alpha } + \cos ^{4}\alpha =$(D)

A.$\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$
B.$\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$

答案： 6. 解析:因为$\cos^{2}\alpha=\sin\alpha=1-\sin^{2}\alpha$，
所以$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
所以$\frac{1}{\sin\alpha}+\cos^{4}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}+\sin^{2}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}+1-\cos^{2}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}+1-\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}-1}+1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2$，故选 D.

7. 已知$\sin \alpha$，$\cos \alpha$是关于$x$的方程$x^{2} + ax - a = 0$的两个根，则$\sin ^{3}\alpha + \cos ^{3}\alpha =$(A)

A.$\sqrt{2} - 2$
B.$\sqrt{2} - 1$
C.$\sqrt{3} + 3$
D.$3\sqrt{3}$

答案： 7. 解析:因为$\sin\alpha$，$\cos\alpha$是关于$x$的方程$x^{2}+ax - a = 0$的两个根，
所以$\Delta=a^{2}+4a\geq0$，解得$a\leq - 4$或$a\geq0$。
根据韦达定理有$\sin\alpha+\cos\alpha=-a$，$\sin\alpha\cos\alpha=-a$，
所以$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=1 - 2a=a^{2}$，解得$a=-1+\sqrt{2}$或$a=-1-\sqrt{2}$（舍去），
所以$\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha)=-a(1 + a)=\sqrt{2}-2$，故选 A.

8. 在平面直角坐标系中，$\overset{\frown }{AB}$，$\overset{\frown }{CD}$，$\overset{\frown }{EF}$，$\overset{\frown }{GH}$是圆$x^{2} + y^{2} = 1$上的四段弧(如图)，点$P$在其中一段上，角$\alpha$以$Ox$为始边，$OP$为终边。若$\tan \alpha ＜ \cos \alpha ＜ \sin \alpha$，则点$P$所在的圆弧是(C)


A.$\overset{\frown }{AB}$
B.$\overset{\frown }{CD}$
C.$\overset{\frown }{EF}$
D.$\overset{\frown }{GH}$

答案： 8. 解析:对于选项 A，在$AB$段正弦线小于余弦线，即$\sin\alpha\lt\cos\alpha$不成立，故 A 不满足条件。
对于选项 B，在$CD$段正切线最大，则$\cos\alpha\lt\sin\alpha\lt\tan\alpha$，故 B 不满足条件。
对于选项 C，在$EF$段正切线、余弦线为负值，正弦线为正，满足$\tan\alpha\lt\cos\alpha\lt\sin\alpha$，故 C 正确。
对于选项 D，在$GH$段正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足$\cos\alpha\lt\sin\alpha\lt\tan\alpha$，故 D 不满足条件。
故选 C.

9. 已知角$\alpha$的终边经过点$P(\sin {120}^{\circ },\tan {120}^{\circ })$，则(ACD)

A.$\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\sin \alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\tan \alpha = -2$
D.$\sin \alpha + \cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 9. 解析:由题意可得$P(\frac{\sqrt{3}}{2},-\sqrt{3})$，
则$\cos\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\sin\alpha=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。故选 ACD.

10. 下列说法中正确的有(ABC)

A.当角$\alpha$的终边在$x$轴上时，角$\alpha$的正切线是一个点
B.当角$\alpha$的终边在$y$轴上时，角$\alpha$的正切线不存在
C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D.余弦线和正切线的始点都是原点

答案： 10. 解析:根据三角函数线的概念，选项 ABC 都是正确的，只有 D 不正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与$x$轴正半轴的交点上。故选 ABC.

11. 已知$\theta \in (0,\pi )$，$\sin \theta + \cos \theta = \dfrac{1}{5}$，则下列结论中正确的是(ABD)

A.$\theta \in \left(\dfrac{\pi }{2},\pi \right)$
B.$\cos \theta = -\dfrac{3}{5}$
C.$\tan \theta = -\dfrac{3}{4}$
D.$\sin \theta - \cos \theta = \dfrac{7}{5}$

答案： 11. 解析:因为$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{5}$ ①，
所以$(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=(\frac{1}{25})$，
即$\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta=\frac{1}{25}$，
解得$2\sin\theta\cos\theta=-\frac{24}{25}$。
又$\theta\in(0,\pi)$，$\sin\theta\gt0$，$\cos\theta\lt0$，
所以$\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，故选项 A 正确。
因为$(\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1 - 2\sin\theta\cos\theta=\frac{49}{25}$，
所以$\sin\theta-\cos\theta=\frac{7}{5}$ ②，故选项 D 正确。
由①+②得$\sin\theta=\frac{4}{5}$，由①-②得$\cos\theta=-\frac{3}{5}$，
故选项 B 正确。
因此$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$，故选项 C 错误。
故选 ABD.