《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

9. 函数 $ f(x) = \dfrac{x}{x^2 + a} $ 的图象可能是(ABC)


A.
B.
C.
D.

答案： 9. 解析:当$a = 0$时,$f(x) = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$,定义域为$x \neq 1$,
故选项$C$是可能的.
当$a ＞ 0$时,取$a = 1$,则$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$,定义域为$\mathbf{R}$,且$f(x)$是奇函数;当$x \neq 0$时函数可化为$f(x) = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$,故选项$B$是可能的.
当$a ＜ 0$时,取$a = -1$,则$f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$,定义域为$x \neq \pm 1$,且$f(x)$是奇函数,故选项$A$是可能的.故不可能是选项$D$.故选$ABC$.

10. 定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 为增函数，偶函数 $ g(x) $ 在区间 $ [0,+\infty) $ 上的图象与 $ f(x) $ 的图象重合，设 $ a \gt b \gt 0 $，则下列不等式中正确的是(AC)

A.$ f(b) - f(-a) \gt g(a) - g(-b) $
B.$ f(b) - f(-a) \lt g(a) - g(b) $
C.$ f(a) - f(-b) \gt g(b) - g(-a) $
D.$ f(a) - f(-b) \lt g(b) - g(-a) $

答案： 10. 解析:因为$f(x)$为奇函数,$g(x)$为偶函数,
所以$-f(-a) = f(a)$,$g(-b) = g(b)$.
因为$a ＞ b ＞ 0$,所以$f(a) ＞ f(b) ＞ f(0) = 0$,$g(a) ＞ g(b) ＞ 0$,且$f(a) = g(a)$,$f(b) = g(b)$,$f(b) - f(-a) = f(b) + f(a) = g(b) + g(a) ＞ g(a) - g(b) = g(a) - g(-b)$,
所以选项$A$正确,选项$B$不正确.
又$g(b) - g(-a) = g(b) - g(a) ＜ 0$,
而$f(a) - f(-b) = f(a) + f(b) ＞ 0$,
所以选项$C$正确,选项$D$不正确.
故选$AC$.

11. 已知函数 $ f(x) $ 对任意 $ x \in \mathbf{R} $ 都有 $ f(x + 4) - f(x) = 2f(2) $，若 $ y = f(x - 1) $ 的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称，且对任意的 $ x_1,x_2 \in (0,2) $，且 $ x_1 \neq x_2 $，都有 $ \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} \gt 0 $，则下列结论中正确的是(ABC)

A.$ f(x) $ 是偶函数
B.$ f(x + 4) = f(x) $
C.$ f(2022) = 0 $
D.$ f(x) $ 在 $ (-4,-2) $ 上单调递减

答案： 11. 解析:由$y = f(x - 1)$的图象关于直线$x = 1$对称,则$f(1 + x - 1) = f(1 - x - 1)$,即$f(-x) = f(x)$,故$f(x)$是偶函数,故选项$A$正确.
由$f(x + 4) - f(x) = 2f(2)$,令$x = -2$,可得$f(2) = 0$,则$f(x + 4) = f(x)$,则$f(x)$的周期$T = 4$,故选项$B$正确.
$f(2022) = f(4 × 505 + 2) = f(2) = 0$,故选项$C$正确.
又$f(x)$在$(0, 2)$上递增,在$(-2, 0)$上递减,因为周期$T = 4$,则$f(x)$在$(-4, -2)$上单调递增,故选项$D$错误.
故选$ABC$.

12. 已知函数 $ f(x) $ 的图象为如图所示的两条线段，则下列关于函数 $ f(x) $ 的说法：
① $ f(f(1)) = 3 $；
② $ f(2) \gt f(0) $；
③ $ f(x) = 2|x - 1| - x + 1,x \in [0,4] $；
④ $ \exists a \gt 0 $，不等式 $ f(x) \leq a $ 的解集为 $ \left[ \dfrac{1}{3},2 \right] $，
其中正确的有①③.(写出所有正确说法的序号)

答案： 12. 解析:对于①,由图象可得$f(1) = 0$,
所以$f(f(1)) = f(0) = 3$,故①正确.
对于②,$f(0) = f(4) = 3$,且$f(x)$在$[1, 4]$上为单调递增函数,所以$f(2) ＜ f(4) = 3$,所以$f(2) ＜ f(0)$,故②错误.
对于③,当$1 \leq x \leq 4$时,$f(x) = 2|x - 1| - x + 1 = 2(x - 1) - x + 1 = x - 1$,$f(1) = 0$,$f(4) = 3$,满足图象;
当$0 \leq x ＜ 1$时,$f(x) = 2|x - 1| - x + 1 = 2(1 - x) - x + 1 = 3 - 3x$,$f(0) = 3$,斜率$k = -3$,满足图象,故③正确.
对于④,由题意得$f(x) \leq a$的解集为$\left[ \frac{1}{3}, 2 \right]$,即方程$f(x) = a$的根为$\frac{1}{3}, 2$.根据$f(x)$的解析式可得$f\left( \frac{1}{3} \right) = 2$,当$1 \leq x \leq 4$时,令$x - 1 = 2$,解得$x = 3$,所以解集为$\left[ \frac{1}{3}, 3 \right]$,故④错误.
故答案为①③.