《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

10. 设命题 $ p : \frac{x - 3}{x} ＜ 0 $，命题 $ q : ( x - a ) ( x - a + 2 ) \leq 0 $。若命题 $ p $ 是命题 $ q $ 的必要不充分条件，则实数 $ a $ 可以是(BD)

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ \frac{5}{2} $
C.$ \frac{7}{2} $
D.$ \frac{7}{3} $

答案： 10. 解析:由题意可得$p$的解集为$\{ x|0＜x＜3\} $;$q$的解集为$\{ x|a-2≤x≤a\} ,$因为命题$p$是命题$q$的必要不充分条件,所以$\{ x|a-2≤x≤a\} \subseteq \{ x|0＜x＜3\} ,$经验证$a=\frac {5}{2}$和$a=\frac {7}{3}$满足题意,故选 BD.

11. 若“存在 $ 0 \leq x_{0} \leq 2 $，使得 $ 2x_{0}^{2} - \lambda + 1 ＜ 0 $ 成立”是假命题，则实数 $ \lambda $ 的可能取值是(AB)

A.1
B.0
C.3
D.$ 3\sqrt{2} $

答案： 11. 解析:由题意可知“存在$0＜x_{0}＜2$,使得$2x_{0}^{2}-\lambda +1＜0$成立”是假命题,转化为对任意的$0＜x＜2,2x^{2}-\lambda +1≥0$恒成立,即对任意的$0＜x＜2,\lambda ≤2x^{2}+1$恒成立,即$\lambda ≤1$,故选 AB.

12. 已知 $ \varnothing \subsetneqq \{ x | x^{2} - x + a = 0 \} $，则实数 $ a $ 的取值范围是$a \leq \frac{1}{4}$。

答案： 12. 解析:由题意可得$x^{2}-x+a=0$有实根,故$\Delta =(-1)^{2}-4×1×a≥0$,解得$a≤\frac {1}{4}.$

13. 已知 $ \mathbf{Q} $ 是有理数集，集合 $ M = \{ x | x = a + \sqrt{2}b, a, b \in \mathbf{Q}, x \neq 0 \} $，在下列集合中：
① $ \{ \sqrt{2}x | x \in M \} $；② $ \left\{ \frac{1}{x} | x \in M \right\} $；③ $ \{ x_{1} + x_{2} | x_{1} \in M, x_{2} \in M \} $；④ $ \{ x_{1}x_{2} | x_{1} \in M, x_{2} \in M \} $；
与集合 $ M $ 相等的集合序号是①②④。

答案： 13. 解析:①$\sqrt {2}x=\sqrt {2}(a+\sqrt {2}b)=2b+\sqrt {2}a$,因为$a$是有理数,$2b$也是有理数,故与集合$M$相等.②$\frac {1}{x}=\frac {1}{a+\sqrt {2}b}=\frac {a}{a^{2}-2b^{2}}-\frac {\sqrt {2}b}{a^{2}-2b^{2}},$因为$\frac {a}{a^{2}-2b^{2}},\frac {-b}{a^{2}-2b^{2}}$都是有理数,符合集合$M$的形式,故与集合$M$相等.③令$x_{1}=a+\sqrt {2}b,x_{2}=-a-\sqrt {2}b$,则$x_{1}+x_{2}=0∉M.$④令$x_{1}=a+\sqrt {2}b,x_{2}=c+\sqrt {2}d$,则$x_{1}x_{2}=ac+2bd+\sqrt {2}(ad+bc)$,因为$ac+2bd,ad+bc$都是有理数,符合集合$M$的形式,与集合$M$相等.故答案为①②④.

14. 已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf{Z} | x^{2} - 1 ＞ 0 \} $，$ B = \{ x | x^{2} - 2tx - 1 \leq 0 \} $，若 $ A \cap B = \{ x_{1}, x_{2} \} $，则 $ t $ 的取值范围是$-\frac{15}{8}＜t \leq -\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4}{3} \leq t＜\frac{15}{8}$。

答案： 14. 解析:$A=\{ x|x＞1$或$x＜-1,x∈Z\} .$因为$B=\{ x|x^{2}-2tx-1≤0\} $,设方程$x^{2}-2tx-1=0$的两根分别为$m,n$,不妨设$m＜n,$则$m+n=2t,mn=-1$,所以$m,n$为一正一负,互为负倒数,且$B=\{ x|m≤x≤n\} .$因为$A\cap B=\{ x_{1},x_{2}\} $,令$f(x)=x^{2}-2tx-1,$则有以下两种情况.①当$A\cap B=\{ 2,3\} $时,即$-1＜m＜0,3≤n＜4,$则$\left\{\begin{array}{l} f(-1)＞0,\\ f(3)≤0,\\ f(4)＞0,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} 2t＞0,\\ 8-6t≤0,\\ 15-8t＞0,\end{array}\right. $解得$\frac {4}{3}≤t＜\frac {15}{8};$②当$A\cap B=\{ -2,-3\} $时,即$-4＜m≤-3,0＜n＜1$,则$\left\{\begin{array}{l} f(-1)＞0,\\ f(-3)≤0,\\ f(-4)＞0,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} -2t＞0,\\ 8+6t≤0,\\ 15+8t＞0,\end{array}\right. $解得$-\frac {15}{8}＜t≤-\frac {4}{3};$综上,$t$的取值范围是$-\frac {15}{8}＜t≤-\frac {4}{3}$或$\frac {4}{3}≤t＜\frac {15}{8}.$

15. 已知 $ a \in \mathbf{R} $，在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，进行求解。
① $ B = \{ x | 1 - a \leq x \leq 1 + a \} $，② $ B = \{ x | [ x - ( a - 1 ) ] [ x - ( a + 1 ) ] \leq 0 \} $。
问题：已知集合 $ A = \{ x | x^{2} - 2x - 8 \leq 0 \} $，，若 $ A \cap B = B $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 15. 解析:若选①,$A=\{ x|-2≤x≤4\} ,$由$A\cap B=B$得$B\subseteq A.$
(1)若$B=\varnothing $,由$1-a＞1+a$得$a＜0;$
(2)若$B≠\varnothing $,由$\left\{\begin{array}{l} 1-a≤1+a,\\ 1-a≥-2,\\ 1+a≤4\end{array}\right. $得$0≤a≤3.$综上所述,实数$a$的取值范围是$a≤3.$若选②,$A=\{ x|-2≤x≤4\} ,$由$A\cap B=B$得$B\subseteq A.$$B=\{ x|a-1≤x≤a+1\} ,$由$\left\{\begin{array}{l} a-1≥-2,\\ a+1≤4\end{array}\right. $得$-1≤a≤3,$即实数$a$的取值范围是$-1≤a≤3.$

16. 设集合 $ A = \{ x | x^{2} - ax + a^{2} - 19 = 0 \} $，$ B = \{ x | x^{2} - 5x + 6 = 0 \} $，$ C = \{ x | x^{2} + 2x - 8 = 0 \} $。
（1）若 $ A \cap B = A \cup B $，求 $ a $ 的值；
（2）若 $ \varnothing \subsetneqq A \cap B $，$ A \cap C = \varnothing $，求 $ a $ 的值。

答案： 16. 解析:
(1)集合$A=\{ x|x^{2}-ax+a^{2}-19=0\} ,$$B=\{ x|x^{2}-5x+6=0\} =\{ 2,3\} .$由$A\cap B=A\cup B$可得$A=B,$则$a=2+3$,且$a^{2}-19=2×3$,解得$a=5.$
(2)$C=\{ -4,2\} ,B=\{ 2,3\} ,$若$\varnothing \subsetneqq A\cap B,A\cap C=\varnothing ,$可得$A\cap B≠\varnothing $,则$3∈A,2∉A,$所以$9-3a+a^{2}-19=0$,解得$a=5$或-2,当$a=5$时,$A=\{ x|x^{2}-5x+6=0\} =B$,矛盾,舍去,当$a=-2$时,$A=\{ x|x^{2}+2x-15=0\} =\{ -5,3\} ,$成立.