《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 1】已知集合 $ A = \{ a - 2, 2a^2 + 5a, 12 \} $，且 $ -3 \in A $。
（1）求 $ a $；
（2）写出集合 $ A $ 的所有子集。

答案： 解析 （1）因为 $ -3 \in A $，所以 $ a - 2 = -3 $ 或 $ 2a^2 + 5a = -3 $，解得 $ a = -1 $ 或 $ a = -\frac{3}{2} $。
当 $ a = -1 $ 时，$ A = \{ -3, -3, 12 \} $，不符合，舍去；当 $ a = -\frac{3}{2} $ 时，$ A = \{ -\frac{7}{2}, -3, 12 \} $，符合，所以 $ a = -\frac{3}{2} $。
（2）由（1）知 $ A = \{ -\frac{7}{2}, -3, 12 \} $，
所以其子集为 $ \varnothing $，$ \{ -\frac{7}{2} \} $，$ \{ -3 \} $，$ \{ 12 \} $，$ \{ -3, -\frac{7}{2} \} $，$ \{ -\frac{7}{2}, 12 \} $，$ \{ -3, 12 \} $，$ \{ -\frac{7}{2}, -3, 12 \} $。
点睛 求集合 $ A $ 的子集时，特别注意不要遗漏空集和其本身。