《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 4】已知关于 $ x $ 的方程 $ 2^{x} = \frac{a + 1}{2 - a} $，在下列情况中分别求实数 $ a $ 的取值范围。
(1) 方程没有实数解；
(2) 方程只有正实数解；
(3) 方程有负数解。

答案：
(1) 因为 $2^x ＞ 0$，方程无实解需 $\frac{a+1}{2-a} \leq 0$，解得 $a \leq -1$ 或 $a ＞ 2$。
(2) 正解时 $2^x ＞ 1$，即 $\frac{a+1}{2-a} ＞ 1$，解得 $\frac{1}{2} ＜ a ＜ 2$。
(3) 负解时 $0 ＜ 2^x ＜ 1$，即 $0 ＜ \frac{a+1}{2-a} ＜ 1$，解得 $-1 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$。

变式 关于 $ x $ 的不等式 $ 3^{2x} - 2 · 3^{x} + a^{2} - a - 1 ＞ 0 $，当 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时恒成立，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 设$ t = 3^{x} $，因为$ 0 \leq x \leq 1 $且$ y = 3^{x} $为增函数，所以$ t \in [1, 3] $。
原不等式$ 3^{2x} - 2 · 3^{x} + a^{2} - a - 1 ＞ 0 $可化为$ t^{2} - 2t + a^{2} - a - 1 ＞ 0 $，即$ a^{2} - a - 1 ＞ -t^{2} + 2t $。
设$ f(t) = -t^{2} + 2t $，$ t \in [1, 3] $。因为$ f(t) $为开口向下的二次函数，对称轴为$ t = 1 $，所以在$ [1, 3] $上单调递减，$ f(t)_{\max} = f(1) = -1^{2} + 2 · 1 = 1 $。
要使不等式恒成立，需$ a^{2} - a - 1 ＞ 1 $，即$ a^{2} - a - 2 ＞ 0 $。
解$ a^{2} - a - 2 ＞ 0 $，因式分解得$ (a - 2)(a + 1) ＞ 0 $，解得$ a ＜ -1 $或$ a ＞ 2 $。
故$ a $的取值范围是$ (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) $。

【例 5】已知 $ y = \log_{a}(4 - ax) $ 在区间 $ [0, 2) $ 上是关于 $ x $ 的减函数，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： $(1, 2]$

变式 若函数 $ f(x) = \log_{a}|ax^{2} - x|(a ＞ 0 $，$ a \neq 1) $ 在区间 $ [3, 4] $ 上是增函数，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： $[\frac{1}{6}, \frac{1}{4}) \cup (1, +\infty)$