《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 6】设 $ A = \{ x | -x^2 + 3x + 10 \geq 0 \} $，$ B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2m - 1 \} $，若 $ B \subseteq A $。
（1）求集合 $ A $；
（2）求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 解析 （1）$ A = \{ x | -x^2 + 3x + 10 \geq 0 \} = \{ x | -2 \leq x \leq 5 \} $。
（2）①当 $ m + 1 ＞ 2m - 1 $，即 $ m ＜ 2 $ 时，$ B = \varnothing $，$ B \subseteq A $ 成立；
②当 $ m + 1 \leq 2m - 1 $，即 $ m \geq 2 $ 时，$ B \neq \varnothing $，若 $ B \subseteq A $，则 $ \begin{cases} m + 1 \geq -2, \\ 2m - 1 \leq 5, \end{cases} $ 解得 $ 2 \leq m \leq 3 $；
综上可得 $ m \leq 3 $。
所以 $ m $ 的取值范围为 $ \{ m | m \leq 3 \} $。
点睛 涉及子集问题时，要特别注意对空集的讨论。

1. 若集合 $ M = \{ x | x \leq 6 \} $，$ a = \sqrt{5} $，则下列结论中正确的是 (A)

A.$ \{ a \} \subseteq M $
B.$ a \subseteq M $
C.$ \{ a \} \in M $
D.$ a \notin M $

答案： 1. 解析:因为$ a=\sqrt{5}＜6 $,所以$ a\in M $,则集合$ \{a\}\subseteq M $,所以选项A正确,选项D不正确.
选项B中元素与集合的关系符号用错;
选项C中集合与集合的关系符号用错.
故选A.

2. 设 $ a $，$ b \in \mathbf{R} $，集合 $ A = \{ 1, a \} $，$ B = \{ -1, -b \} $，若 $ A \subseteq B $，则 $ a - b = $ (D)

A.$ -1 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $
D.$ 0 $

答案： 2. 解析:若$ A\subseteq B $,则$ a=-1,b=-1 $,所以$ a-b=0 $,
故选D.

3. 已知集合 $ M \subsetneqq \{ 4, 7, 8 \} $，且 $ M $ 中至多有一个偶数，则这样的集合共有 (D)

A.$ 3 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 5 $ 个
D.$ 6 $ 个

答案： 3. 解析:由题意可知$ M=\varnothing,\{7\},\{4\},\{8\},\{4,7\},\{7,8\} $,故选D.

4. 已知集合 $ M = \{ x | x = 2a + 4b, a \in \mathbf{Z}, b \in \mathbf{Z} \} $，$ N = \{ y | y = 8c + 4d, c \in \mathbf{Z}, d \in \mathbf{Z} \} $，则 (D)

A.$ M = N $
B.$ M \cap N = \varnothing $
C.$ M \subseteq N $
D.$ N \subseteq M $

答案： 4. 解析:$ x=2(a+2b) $,当$ a\in\mathbf{Z},b\in\mathbf{Z} $时,$ a+2b $可以取到所有整数,所以集合$ M $由所有偶数组成.
同理由$ y=4(2c+d) $知集合$ N $是由所有4的整数倍的数组成.因此$ N\subseteq M $.故选D.

5. 已知集合 $ M = \{ y | y = -x^2 + 1 \} $，$ P = \{ x | y = 2x + 1 \} $，则集合 $ M $ 与 $ P $ 的关系是 (D)

A.$ M = P $
B.$ P \in M $
C.$ P \subsetneqq M $
D.$ M \subsetneqq P $

答案： 5. 解析:集合$ M=\{y\mid y=-x^{2}+1\}=\{y\mid y\leqslant1\} $,
又因为函数$ y=2x+1 $的定义域为$ \mathbf{R} $,
所以集合$ P=\{x\mid y=2x+1\}=\{x\mid x\in\mathbf{R}\} $,
所以$ M\subsetneqq P $.故选D.

6. 已知集合 $ A = \{ x | x^2 + 2x - 8 ＞ 0 \} $，$ B = \{ x | x - a ＞ 0 \} $，若 $ B \subseteq A $，则实数 $ a $ 的取值范围为 (B)

A.$ a ＞ 2 $
B.$ a \geq 2 $
C.$ a ＞ 4 $
D.$ a \geq 4 $

答案： 6. 解析:因为集合$ A=\{x\mid (x+4)(x-2)＞0\}=\{x\mid x＞2或x＜-4\} $,集合$ B=\{x\mid x＞a\} $,由$ B\subseteq A $可得$ a\geqslant2 $,故选B.

7. 已知集合 $ A = \{ x | x ＜ -1 $ 或 $ x \geq 3 \} $，$ B = \{ x | ax + 1 \leq 0 \} $，若 $ B \subseteq A $，则实数 $ a $ 的取值范围是 (A)

A.$ -\frac{1}{3} \leq a ＜ 1 $
B.$ -\frac{1}{3} \leq a \leq 1 $
C.$ a ＜ -1 $ 或 $ a ＞ 0 $
D.$ -\frac{1}{3} \leq a ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ a ＜ 1 $

答案： 7. 解析:因为$ B\subseteq A $,
①当$ B=\varnothing $时,即$ ax+1\leqslant0 $无解,此时$ a=0 $,满足题意.
②当$ B\neq\varnothing $时,即$ ax+1\leqslant0 $有解,
当$ a＞0 $时,可得$ x\leqslant-\frac{1}{a} $,要使$ B\subseteq A $,则需要$ \begin{cases}a＞0,\\-\frac{1}{a}＜-1,\end{cases} $解得$ 0＜ a＜1 $.
当$ a＜0 $时,可得$ x\geqslant-\frac{1}{a} $,要使$ B\subseteq A $,则需要$ \begin{cases}a＜0,\\-\frac{1}{a}\geqslant3,\end{cases} $解得$ -\frac{1}{3}\leqslant a＜0 $.
综上,实数$ a $的取值范围是$ \left \lbrack-\frac{1}{3},1\right) $.故选A.