《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

16. (1)已知$a$，$b$，$c\in\mathbf{R}$，求证：$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq\sqrt{2}(a + b + c)$；
(2)若$0\lt x\lt1$，$a\gt0$，$b\gt0$，求证：$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{1 - x}\geq(a + b)^{2}$。

答案： 16. 解析:
(1)由于$\frac{a+b}{2}\leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$等价于$(a-b)^{2}\geqslant$$0$,其显然成立,则$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)$,当且仅当$a=b$时取等号.
同理,$\sqrt{b^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}(b+c),\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}(c+a)$.
以上三式相加,则$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+$$\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=$$\sqrt{2}(a+b+c)$,得证.
(2)由于$1-x＞0$,
则不等式左边$=(x+1-x)\left(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{1-x}\right)$
$=a^{2}+b^{2}+\frac{(1-x)a^{2}}{x}+\frac{xb^{2}}{1-x}$
$\geqslant a^{2}+b^{2}+2\sqrt{\frac{(1-x)a^{2}}{x}· \frac{xb^{2}}{1-x}}$
$=(a+b)^{2}=$右边,得证.

17. 某人准备租一辆车从$A$地出发到$B$地，已知从出发点到目的地的距离为$100km$，按交通法规定：这段公路车速限制在$60\sim100$(单位：$km/h$)之间。若目前油价为$7.2$元/L，汽车的耗油率为$\left(3+\frac{x^{2}}{360}\right)L/h$，其中$x$(单位：$km/h$)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量。租车需付给司机每小时的工资为$76.4$元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速$x$是多少？(注：租车总费用$=$耗油费$+$司机工资)

答案： 17. 解析:设总费用为$y$元,则$y=76.4× \frac{100}{x}+7.2$$× \frac{100}{x}× \left(3+\frac{x^{2}}{360}\right)=\frac{9800}{x}+2x(60\leqslant x\leqslant 100)$.
由于$y=\frac{9800}{x}+2x\geqslant 2\sqrt{19600}=280$,当且仅当$2x=\frac{9800}{x}$,即$x=70$时取等号.
答:这次租车的总费用最少是280元,此时车速为70km/h.

18. 如图，某居民小区要建一座八边形的展馆，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形$ABCD$和$EFGH$构成的面积为$200m^{2}$的十字形区域，计划在正方形$MNPQ$上建一座花坛，造价为$4200$元/$m^{2}$；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为$210$元/$m^{2}$；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为$80$元/$m^{2}$。
(1)设总造价为$S$(单位：元)，$AD$长为$x$(单位：$m$)，求出$S$关于$x$的函数关系式；
(2)当$AD$长取何值时，总造价$S$最小，并求这个最小值。

答案： 18. 解析:
(1)设$DQ=y,AD=x$,
所以$x^{2}+4xy=200$,则$y=\frac{200-x^{2}}{4x}$,
所以$S=4200x^{2}+210× 4xy+80× 2y^{2}=38000$$+4000x^{2}+\frac{400000}{x^{2}}(0＜x＜10\sqrt{2})$.
(2)因为$S=38000+4000x^{2}+\frac{400000}{x^{2}}\geqslant 38000+$$2\sqrt{16× 10^{8}}=118000$,
当且仅当$4000x^{2}=\frac{400000}{x^{2}}$,即$x=\sqrt{10}$时,$S_{min}$$=118000$(元).
答:当$AD$长$\sqrt{10}$米时,总造价最小为118000元.