《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

7. 若至少存在一个 x ≥ 0，使得关于 x 的不等式 x² ≤ 4 - |2x + m| 成立，则实数 m 的取值范围是(D)

A.-4 ≤ m ≤ 5
B.-5 ≤ m ≤ 5
C.4 ≤ m ≤ 5
D.-5 ≤ m ≤ 4

答案：
7. 解析:不等式x² ≤ 4 - |2x + m|可化为|2x + m| ≤ -x² + 4。
若对任意x ≥ 0，都有|2x + m| ＞ -x² + 4，
作出函数y = |2x + m|与y = -x² + 4的图象，

结合图象可知，当m ＞ 4或m ＜ -5时，对任意x ≥ 0，都有|2x + m| ＞ -x² + 4，所以实数m的取值范围是 -5 ≤ m ≤ 4。故选D。

8. 下列命题为存在量词命题的有(BD)

A.在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P
B.有的有理数能写成分数形式
C.线段的长度都能用正有理数表示
D.存在一个实数 x，使等式 x² - 3x + 2 = 0 成立

答案： 8. 解析:对于选项A，是全称量词命题，所以A错误。
对于选项B，“有的”为存在量词，所以是存在量词命题，所以B正确。
对于选项C，是全称量词命题，所以C错误。
对于选项D，“存在”为存在量词，所以是存在量词命题，所以D正确。
故选BD。

9. 设非空集合 P，Q 满足 P ∩ Q = Q，且 P ≠ Q，则下列选项中错误的是(CD)

A.∀x∈Q，有 x∈P
B.∃x∈P，使得 x ∉ Q
C.∃x∈Q，使得 x ∉ P
D.∀x ∉ Q，有 x ∉ P

答案：
9. 解析:因为P ∩ Q = Q，所以Q ⊆ P，
所以A正确；B正确；C错误；D错误。
故选CD。

10. 下列命题是真命题的是(ABD)

A.∀x∈R，|x| ≥ x
B.∃x∈R，|x| ≤ -x
C.∀x∈R，x² - 2x - 3 ＞ 0
D.∃x∈R，x² - 2x - 3 ＞ 0

答案： 10. 解析:∀x∈R，|x| ≥ x恒成立；
当x = 0时，|x| ≤ -x成立；
当x = 1时，x² - 2x - 3 ＜ 0。
因此选项A，B，D成立，故选ABD。

11. 命题“∀x ＜ 0，x² - 2x + 3 ≤ 0”的否定是∃x ＜ 0，x² - 2x + 3 ＞ 0.

答案： 11. 解析:∃x ＜ 0，x² - 2x + 3 ＞ 0。

12. 已知命题 p：∀ -1 ≤ m ≤ 1，a² - 5a - 3 ≥ m + 2，且 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是a ≤ -1或a ≥ 6.

答案： 12. 解析:因为对任意的 -1 ≤ m ≤ 1，a² - 5a - 3 ≥ m + 2恒成立，所以a² - 5a - 3 ≥ 3，所以a ≤ -1或a ≥ 6。

13. 已知命题 p：∃x₀∈R，使得 ax₀² + ax₀ - 1 ≥ 0. 若¬p 是真命题，则实数 a 的取值范围为a∈(-4, 0].

答案： 13. 解析:根据题意可知∀x∈R，不等式ax² + ax - 1 ＜ 0恒成立。
当a = 0时， -1 ＜ 0成立，符合题意；
当a≠0时，有$\begin{cases} a ＜ 0, \\ \Delta = a^2 + 4a ＜ 0, \end{cases}$解得 -4 ＜ a ＜ 0，
综上可知a∈(-4, 0]。

14. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1) 至少有一个整数，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
(2) ∀x∈R，x² - 4x + 6 ＞ 0；
(3) ∃x∈N，x² ≤ x；
(4) ∃x∈N*，使 x 为 29 的约数；
(5) ∀x∈N，x² ＞ 0.

答案： 14. 解析:
(1)命题中存在“至少有一个”，所以是存在量词命题，是真命题。
(2)全称量词命题，由于Δ = 4² - 4×6 = -8 ＜ 0，是真命题。
(3)存在量词命题，当x = 0或1时，x² ≤ x成立，是真命题。
(4)存在量词命题，当x = 1时，1是29的约数，是真命题。
(5)全称量词命题，当x = 0时，x² ＞ 0不成立，是假命题。

15. 当 m 取何值时，对任意的 x 总有(m² + 4m - 5)x² - 2(m - 1)x + 3 ＞ 0 成立？

答案： 15. 解析:当m² + 4m - 5 = 0时，解得m = 1或m = -5。
当m = 1时，原不等式为3 ＞ 0，满足题意。
当m = -5时，原不等式为12x + 3 ＞ 0，解得x ＞ -$\frac{1}{4}$，不满足题意。
当m² + 4m - 5 ≠ 0时，要使(m² + 4m - 5)x² - 2(m - 1)x + 3 ＞ 0成立，
则$\begin{cases} m^2 + 4m - 5 ＞ 0, \\ \Delta = 4(m - 1)^2 - 12(m^2 + 4m - 5) ＜ 0, \end{cases}$
即$\begin{cases} m^2 + 4m - 5 ＞ 0, \\ m^2 + 7m - 8 ＞ 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m ＞ 1 或 m ＜ -5, \\ m ＞ 1 或 m ＜ -8, \end{cases}$
所以m ＞ 1或m ＜ -8。
综上m ≥ 1或m ＜ -8。