《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 6】集合 $ A $ 是由具有以下性质的函数 $ f(x) $ 构成的：对于任意的 $ u, v \in (-1, 1) $，且 $ u \neq v $，都有 $ |f(u) - f(v)| \leq 3|u - v| $。
(1) 分别判断函数 $ f_1(x) = \sqrt{1 + x^2} $ 及 $ f_2(x) = \log_2(x + 1) $ 是否在集合 $ A $ 中？并说明理由；
(2) 设函数 $ f(x) = ax^2 + bx $，且 $ f(x) \in A $，试求 $ |2a + b| $ 的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，若 $ f(2) = 6 $，且对于满足(2)的每个实数 $ a $，存在最小的实数 $ m $，使得 $ x \in [m, 2] $ 时，$ |f(x)| \leq 6 $ 恒成立，试用 $ a $ 的代数式表示 $ m $。

答案：
(1)
对于$f_1(x)=\sqrt{1+x^2}$：任取$u,v\in(-1,1)$，$u\neq v$，
$|f_1(u)-f_1(v)|=\frac{|u+v|·|u-v|}{\sqrt{1+u^2}+\sqrt{1+v^2}}$。
因$|u|＜\sqrt{1+u^2}$，$|v|＜\sqrt{1+v^2}$，则$\frac{|u+v|}{\sqrt{1+u^2}+\sqrt{1+v^2}}＜1$，
故$|f_1(u)-f_1(v)|＜|u-v|\leq3|u-v|$，$f_1(x)\in A$。
对于$f_2(x)=\log_2(x+1)$：取$u=-1+2^{-8}$，$v=-1+2^{-1}$，
则$|u-v|＜1$，$|f_2(u)-f_2(v)|=7＞3|u-v|$，故$f_2(x)\notin A$。
(2)
任取$u,v\in(-1,1)$，$u\neq v$，$|f(u)-f(v)|=|(u-v)(au+av+b)|\leq3|u-v|$，
即$|au+av+b|\leq3$。设$t=u+v$，$t\in(-2,2)$，则$|at+b|\leq3$恒成立，
故$|2a+b|\leq3$，即$|2a+b|\in[-3,3]$。
(3)
由$f(2)=6$得$2a+b=3$，结合
(2)知$0\leq a\leq\frac{3}{2}$。
(i) $a=0$时，$f(x)=3x$，令$3x=-6$得$x=-2$，$m=-2$。
(ii) $a＞0$时，$f(x)=ax^2+(3-2a)x$，对称轴$x=1-\frac{3}{2a}$，顶点纵坐标$-\frac{(3-2a)^2}{4a}$。
若$-\frac{(3-2a)^2}{4a}\geq-6$（即$\frac{9-6\sqrt{2}}{2}\leq a\leq\frac{3}{2}$），解$ax^2+(3-2a)x=6$得$x=2$或$x=-\frac{3}{a}$，$m=-\frac{3}{a}$。
若$-\frac{(3-2a)^2}{4a}＜-6$（即$0＜a＜\frac{9-6\sqrt{2}}{2}$），解$ax^2+(3-2a)x=-6$得$x=\frac{2a-3+\sqrt{4a^2-36a+9}}{2a}$，$m=\frac{2a-3+\sqrt{4a^2-36a+9}}{2a}$。
综上，$m=\begin{cases}-2, & a=0, \\ \frac{2a-3+\sqrt{4a^2-36a+9}}{2a}, & 0＜a＜\frac{9-6\sqrt{2}}{2}, \\ -\frac{3}{a}, & \frac{9-6\sqrt{2}}{2}\leq a\leq\frac{3}{2}.\end{cases}$