《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

18. 在治疗新型冠状病毒引起的肺炎的过程中，需要某医药公司生产的某种药品，此药品的年固定成本为 250 万元，每生产 $ x $ 千件需投入成本 $ C(x) $. 当年产量不足 80 千件时，$ C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 10x $ (万元)；当年产量不小于 80 千件时，$ C(x) = 51x + \frac{10000}{x} - 1450 $ (万元)，每件药品售价为 0.05 万元. 在疫情期间，该公司生产的药品能在当年全部售完.
(1) 写出年利润 $ L(x) $ (万元) 关于年产量 $ x $ (千件) 的函数解析式；
(2) 该公司决定将此药品所获利润的 1% 用来购买防疫物资捐赠给医疗机构，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可购买多少万元的防疫物资？

答案： 18.解析:
(1)当0＜x＜80时,L(x)=0.05×1000x−($\frac{1}{3}$x²+10x)−250=−$\frac{1}{3}$x²+40x−250;
　　当x≥80时,L(x)=0.05×1000x−(51x+$\frac{10000}{x}$−1450)−250=−x−$\frac{10000}{x}$+1200,
　　　　　　　$\begin{cases} -\frac{1}{3}x^2 + 40x - 250, & 0 \lt x \lt 80, \\ -x - \frac{10000}{x} + 1200, & x \geq 80. \end{cases}$
(2)当0＜x＜80时,L(x)=−$\frac{1}{3}$x²+40x−250,L(x)max=L
(60)=950,
　　当x≥80时,L(x)=−x−$\frac{10000}{x}$+1200≤−2$\sqrt{x·\frac{10000}{x}}$+1200=1000,当x=$\frac{10000}{x}$,即x=100时所获利润取到最大值.
　　因此当x=100(千件)时，生产中所获利润最大，此时可购买10万元抗疫物资.

19. 已知函数 $ f(x) = x + \frac{a}{x} $，$ g(x) = x^2 - 2mx + 6 $，$ m \in \mathbf{R} $.
(1) 当 $ a ＜ 0 $ 时，判断 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上的单调性；
(2) 当 $ a = -2 $ 时，对任意的实数 $ x_1, x_2 \in [1, 2] $，都有 $ f(x_1) \leq g(x_2) $，求实数 $ m $ 的取值范围；
(3) 当 $ m = \frac{5}{2} $ 时，$ F(x) = \begin{cases} f(x), & x ＜ 1 且 x \neq 0, \\ g(x), & x \geq 1, \end{cases} $ $ y = |F(x)| $ 在 $ (0, 2) $ 上单调递减，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 19.解析:
(1)当a＜0时，f(x)=x+$\frac{a}{x}$在(0,+∞)上单调递增.
　证明:设x₂＞x₁＞0,则f(x₂)−f(x₁)=(x₂+$\frac{a}{x₂}$)−(x₁+$\frac{a}{x₁}$)=(x₂−x₁)(1−$\frac{a}{x₁x₂}$).
　　因为x₂＞x₁＞0,a＜0,所以x₂−x₁＞0,1−$\frac{a}{x₂x₁}$＞0,则f(x₂)＞f(x₁),
　所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)因为a=−2,由
(1)得当x₁∈[1,2]时f(x₁)max=f
(2)=1.
　又因为对任意的实数x₁,x₂∈[1,2],都有f(x₁)≤g(x₂),故g(x₂)≥f(x₁)max=1对x₂∈[1,2]时恒成立，
　故x²−2mx+6≥1在x∈[1,2]时恒成立，
　所以m≤$\frac{x²+5}{2x}$=$\frac{1}{2}$(x+$\frac{5}{x}$)在x∈[1,2]时恒成立.
　因为($\frac{1}{2}$(x+$\frac{5}{x}$))min=$\frac{9}{4}$,故m≤$\frac{9}{4}$.
(3)当x∈[1,2)时,有g(x)=x²−5x+6=(x - 2)(x−3)≥0成立，
　所以y=|F(x)|=|g(x)|=g(x)在x∈[1,2)时单调递减.
　由题意可得当x∈(0,1]时,y=|F(x)|=|f(x)|单调递减,且有|f
(1)|≥g
(1)=2.
　　　　　　　　　　f(x)≥0恒成立，①当x∈(0,1]时，$\begin{cases} f(x) \geq 0 恒成立, \\ f(x) 单调递减, \\ f(1)=1 + a \geq 2, \end{cases}$所以$\begin{cases} \sqrt{a} \geq 1, \\ a \geq 1, \end{cases}$解得a≥1;
　　　　　　　　　f(x)≤0恒成立，
　　②当x∈(0,1]时，$\begin{cases} f(x) \leq 0 恒成立, \\ f(x) 单调递增, \\ f(1)=1 + a \leq -2, \end{cases}$解得a≤−3.
　　故a的取值范围是a≥1或a≤−3.