《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 6】解方程：$ x^{\log$${a} x}=\frac{x^{2}}{a}(a＞0 $ 且 $ a \neq 1) $.

答案： 解题步骤：
1. 由题意知 $ x ＞ 0 $（对数真数大于0），方程两边均为正数，两边取以 $ a $ 为底的对数：
$ \log_{a}(x^{\log_{a}x}) = \log_{a}\left(\frac{x^2}{a}\right) $.
2. 利用对数运算性质化简：
左边：$ \log_{a}(x^{\log_{a}x}) = (\log_{a}x) · (\log_{a}x) = (\log_{a}x)^2 $；
右边：$ \log_{a}\left(\frac{x^2}{a}\right) = \log_{a}x^2 - \log_{a}a = 2\log_{a}x - 1 $.
3. 令 $ t = \log_{a}x $，则方程化为：
$ t^2 = 2t - 1 $.
4. 整理得二次方程：$ t^2 - 2t + 1 = 0 $，即 $ (t - 1)^2 = 0 $，解得 $ t = 1 $.
5. 由 $ t = \log_{a}x = 1 $，得 $ x = a^1 = a $.
6. 检验：将 $ x = a $ 代入原方程，左边 $ a^{\log_{a}a} = a^1 = a $，右边 $ \frac{a^2}{a} = a $，等式成立.
结论：
方程的解为 $ x = a $.
$ x = a $

变式 解方程组：$ \begin{cases}x^{x+y}=y^{12}, \\ y^{x+y}=x^{3}.\end{cases} $（其中 $ x $，$ y \in \mathbf{R}^{+} $）

答案： 解：
1. 对第一个方程$x^{x+y}=y^{12}$以$x$为底取对数，得：
$\log_x x^{x+y} = \log_x y^{12}$，
化简为：$x + y = 12\log_x y$。
2. 对第二个方程$y^{x+y}=x^3$以$y$为底取对数，得：
$\log_y y^{x+y} = \log_y x^3$，
化简为：$x + y = 3\log_y x$。
3. 联立上述两式：$12\log_x y = 3\log_y x$。
由对数性质$\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$，设$t = \log_y x$，则$\log_x y = \frac{1}{t}$，代入得：
$12 · \frac{1}{t} = 3t$，即$t^2 = 4$。
因$x,y \in \mathbf{R}^+$，$x + y ＞ 0$，故$t = \log_y x = 2$（$t = -2$时$x + y = -6$舍去），则$x = y^2$。
4. 将$x = y^2$代入原方程组：
若$y = 1$，则$x = 1$，代入验证成立。
若$y \neq 1$，由$x + y = 6$（$x + y = 3\log_y x = 6$）及$x = y^2$，得$y^2 + y - 6 = 0$，解得$y = 2$（$y = -3$舍去），则$x = 4$。
结论：
方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$。

【例 7】设 $ a $，$ b $，$ c $ 都是正数，且 $ 3^{a}=4^{b}=6^{c} $，那么()
A.$ \frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} $
B.$ \frac{1}{c}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b} $
C.$ \frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b} $
D.$ \frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b} $

答案： C

变式 设 $ a $，$ b $，$ c $ 都是正数，且 $ 3^{a}=6^{b}=8^{c} $，求 $ \frac{3 a c-3 b c-a b}{a b c} $ 的值.

答案： 0