《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17. 设 $ x $，$ y \in \mathbf{R} $，求证：$ |x + y| = |x| + |y| $ 成立的充要条件是 $ xy \geq 0 $。

答案： 17. 解析:充分性:如果$xy = 0$，那么①$x = 0$，$y\neq0$，②$x\neq0$，$y = 0$，③$x = 0$，$y = 0$。于是$|x + y|=|x|+|y|$，显然成立。如果$xy＞0$，即$x＞0$，$y＞0$或$x＜0$，$y＜0$，当$x＞0$，$y＞0$时，$|x + y|=x + y=|x|+|y|$，当$x＜0$，$y＜0$时，$|x + y|=-x - y=(-x)+(-y)=|x|+|y|$，总之，当$xy\geqslant0$时，$|x + y|=|x|+|y|$成立。必要性:由$|x + y|=|x|+|y|$及$x,y\in\mathbf{R}$，得$(x + y)^{2}=(|x|+|y|)^{2}$，即$x^{2}+2xy + y^{2}=x^{2}+2|xy|+y^{2}$，故$|xy|=xy$，所以$xy\geqslant0$，故必要性成立，综上，原命题成立。

1. 设 $ A $，$ B $ 和 $ C $ 是三个集合，则“$ B $ 和 $ C $ 都是 $ A $ 的子集”是“$ (A \cap B) \cup (A \cap C) = B \cup C $”成立的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1. 解析:如果$B$和$C$都是$A$的子集，则$A\cap B = B$，$A\cap C = C$，从而$(A\cap B)\cup(A\cap C)=B\cup C$成立。反之，如果$(A\cap B)\cup(A\cap C)=B\cup C$成立，则由$A\cap B$和$A\cap C$都是$A$的子集知$B\cup C$是$A$的子集，即$B$和$C$都是$A$的子集。故选C。

2. 已知 $ x \in \mathbf{R} $，$ y \in \mathbf{R} $，则“$ |x| ＜ 1 $ 且 $ |y| ＜ 1 $”是“$ |x + y| + |x - y| ＜ 2 $”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2. 解析:注意到$|x + y|+|x - y|=2|x|$或$2|y|$，所以当$|x|＜1$且$|y|＜1$时，$|x + y|+|x - y|＜2$。又$|x|=\frac{1}{2}|x + y + x - y|\leqslant\frac{1}{2}(|x + y|+|x - y|)$，$|y|=\frac{1}{2}|x + y-(x - y)|\leqslant\frac{1}{2}(|x + y|+|x - y|)$，所以当$|x + y|+|x - y|＜2$时，$|x|＜1$且$|y|＜1$，故选C。