《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例6】已知实数$a$，$b$满足$4a^{2}-5ab+4b^{2}=9$，则$a + b$的取值范围为。

答案： $[-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$

【例7】已知正实数$a$，$b$，$c$，则$\frac{5a + 5c}{b + 3c}+\frac{11c - 3b}{a + b}+\frac{4b - a}{a + 2c}$的最小值为()
A.$5\sqrt{2}$
B.$5+\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{2}-6$
D.$\frac{15}{2}$

答案： C

【例8】某产品原来的成本为$1000$元/件，售价为$1200$元/件，年销售量为$1$万件。由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入$x$万元，每件产品的成本将降低$\frac{3x}{4}$元，在售价不变的情况下，年销售量将减少$\frac{2}{x}$万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为$z$（单位：万元）。
（1）求$z$的函数解析式；
（2）求$z$的最大值，以及$z$取得最大值时$x$的值。

答案： （1）$z=198.5-\left(\frac{x}{4}+\frac{400}{x}\right)(2\lt x\lt\frac{4000}{3})$；（2）当$x=40$时，$z$取得最大值$178.5$万元。