《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1*. 设$k$，$m$为实数，当$a\leqslant x\leqslant b$时，不等式$|x^{2}-kx - m|\leqslant1$恒成立，证明：$b - a\leqslant2\sqrt{2}$。

答案： 1. 解析:令$f(x)=x^{2}-kx - m$,
则$f(a)=a^{2}-ka - m\leqslant1$ ①,
$f(b)=b^{2}-kb - m\leqslant1$ ②,
$f\left(\dfrac{a + b}{2}\right)=\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^{2}-k\left(\dfrac{a + b}{2}\right)-m\geqslant - 1$ ③.
由①+②$- 2×$③,得$\dfrac{(a - b)^{2}}{2}=f(a)+f(b)-2f\left(\dfrac{a + b}{2}\right)\leqslant4$,从而$b - a\leqslant2\sqrt{2}$.

2*. 已知实数$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=\lambda(\lambda＞0)$，试求$f=\min\{(a - b)^{2}$，$(b - c)^{2}$，$(c - a)^{2}\}$的最大值。

答案： 2. 解析:由对称性,不妨设$a\leqslant b\leqslant c$,令$b = a + s$,$c = a + s + t$,$s\geqslant0$,$t\geqslant0$.
则由条件知$a^{2}+(a + s)^{2}+(a + s + t)^{2}=\lambda$,
整理成关于$a$的一元二次方程$3a^{2}+2(2s + t)a + 2s^{2}+2st + t^{2}-\lambda = 0$.
此方程有解,则$\Delta = 4(2s + t)^{2}-12(2s^{2}+2st + t^{2}-\lambda )\geqslant0$,解得$s^{2}+st + t^{2}\leqslant\dfrac{3}{2}\lambda$.
上式关于$s$,$t$对称,不妨设$0\leqslant s\leqslant t$,
则$f=\min\{(a - b)^{2},(b - c)^{2},(c - a)^{2}\}=s^{2}$.
又因为$\dfrac{3}{2}\lambda \geqslant s^{2}+st + t^{2}\geqslant3s^{2}$,则$s^{2}\leqslant\dfrac{1}{2}\lambda$,当且仅当$s = t=\sqrt{\dfrac{\lambda }{2}}$,即$a=-\sqrt{\dfrac{\lambda }{2}}$,$b = 0$,$c=\sqrt{\dfrac{\lambda }{2}}$时取等号.
综上,$f$的最大值为$\dfrac{1}{2}\lambda$.