《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17.如图,半径为x的圆O在边长为4的正
方形内与正方形的一边相切并滚动一周
后，圆没有通过的区域的面积为S.
(1)试写出S关于x的函数解析式;
(2)当x取何值时,S有最小值，并求出该
最小值.

答案：
17.解析:
(1)如图，设由线段$EF$、线段$FG$以及弧线$EHG$围成的图形面积为$S_1$，
当$x \in (0, 1)$时，$S = S_{ABCD} + 4S_1$，四边形$ABCD$为正方形且其边长为$4 - 4x$，

$S = (4 - 4x)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{4} × \pi x^2 \right) × 4 = (20 - \pi)x^2 - 32x + 16$，
当$x \in [1, 2]$时，正方形$ABCD$的面积变为$0$，
$S = 4S_1 = (4 - \pi)x^2$，
综上，$S = \begin{cases} (20 - \pi)x^2 - 32x + 16, & x \in (0, 1), \\ (4 - \pi)x^2, & x \in [1, 2]. \end{cases}$
(2)当$x \in (0, 1)$时，$S = (20 - \pi)x^2 - 32x + 16$，
对称轴$x = -\frac{-32}{2 × (20 - \pi)} = \frac{16}{20 - \pi} \in (0, 1)$，此时$S_{min} = \frac{64 - 16\pi}{20 - \pi}$，
当$x \in [1, 2]$时，$S = (4 - \pi)x^2$递增，当$x = 1$时，$S_{min} = 4 - \pi$。
而$4 - \pi - \frac{64 - 16\pi}{20 - \pi} = \frac{(\pi - 4)^2}{20 - \pi} ＞ 0$，
即$4 - \pi ＞ \frac{64 - 16\pi}{20 - \pi}$，
故当$x = \frac{16}{20 - \pi}$时，$S_{min} = \frac{64 - 16\pi}{20 - \pi}$。

18.已知函数f(x)=$\frac{x+1−a}{a−x}$(aER且x≠
a).证明:f(x)+2+f(2a一x)=0对定
义域内的所有x都成立.

答案： 18.解析:$f(x) + 2 + f(2a - x)$
$= \frac{x + 1 - a}{a - x} + 2 + \frac{2a - x + 1 - a}{a - 2a + x}$
$= \frac{x + 1 - a}{a - x} + 2 + \frac{a - x + 1}{x - a}$
$= \frac{x + 1 - a + 2a - 2x - a + x - 1}{a - x} = 0$，
所以结论成立。

1.设函数f(x)= 其中a为
$\frac{1−x}{1−a}$,a＜x＜1,
{
常数且a∈(0,1).若x。满足f(f(x))=
xo,但f(xo)≠xo,则称x。为f(x)的“回
旋点”
(1)当a=$\frac{1}{2}$时,求f(f($\frac{4}{5}$))的值并判断$\frac{4}{5}$
是否为“回旋点”;
(2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的
解析式，并求出f(x)的“回旋点”.

答案： 1.解析:
(1)当$a = \frac{1}{2}$时，$f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ 2(1 - x), & \frac{1}{2} ＜ x \leq 1, \end{cases}$
所以$f\left( \frac{4}{5} \right) = 2 × \left( 1 - \frac{4}{5} \right) = \frac{2}{5}$，
所以$f\left[ f\left( \frac{4}{5} \right) \right] = f\left( \frac{2}{5} \right) = 2 × \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$，
所以$\frac{4}{5}$是“回旋点”。
(2)因为当$x \in [0, 1]$时，$f(x)$的值域也是$[0, 1]$，
又$a ＜ x \leq 1$，$a \in (0, 1)$，所以$f(x) = \frac{1 - x}{1 - a}$，
由$a ＜ \frac{1 - x}{1 - a} \leq 1$，得$a ＜ x ＜ a^2 - a + 1$，
所以当$a ＜ x ＜ a^2 - a + 1$时，$f[f(x)] = \frac{1}{1 - a} \left[ 1 - \frac{1 - x}{1 - a} \right] = \frac{x - a}{(1 - a)^2}$，
同理，当$a^2 - a + 1 \leq x \leq 1$时，$0 ＜ f(x) = \frac{1 - x}{1 - a} \leq a$，
所以$f[f(x)] = \frac{1}{a} × \left( \frac{1 - x}{1 - a} \right) = \frac{1 - x}{a(1 - a)}$，
所以当$x \in [a, 1]$时，
$f(f(x)) = \begin{cases} \frac{x - a}{(1 - a)^2}, & a ＜ x ＜ a^2 - a + 1, \\ \frac{1 - x}{a(1 - a)}, & a^2 - a + 1 \leq x \leq 1. \end{cases}$
当$a ＜ x ＜ a^2 - a + 1$，由$\frac{x - a}{(1 - a)^2} = x$得$x = \frac{1}{2 - a} \in (a, a^2 - a + 1)$，
所以$f\left( \frac{1}{2 - a} \right) = \frac{1}{1 - a} \left( 1 - \frac{1}{2 - a} \right) = \frac{1}{2 - a}$，
故$x = \frac{1}{2 - a}$不是$f(x)$的“回旋点”。
当$a^2 - a + 1 \leq x \leq 1$时，由$\frac{1 - x}{a(1 - a)} = x$得$x = \frac{1}{-a^2 + a + 1} \in (a^2 - a + 1, 1]$，
所以$f\left( \frac{1}{-a^2 + a + 1} \right) = \frac{1}{1 - a} \left( 1 - \frac{1}{-a^2 + a + 1} \right) = \frac{a}{-a^2 + a + 1} \neq \frac{1}{-a^2 + a + 1}$，
所以$x = \frac{1}{-a^2 + a + 1}$是$f(x)$的“回旋点”。