《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 9*】一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为 $1cm$）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点 $A(1, 0)$ 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过 $\alpha$ 角，黑蚂蚁每秒爬过 $\beta$ 角（其中 $0^{\circ} ＜ \alpha ＜ \beta ＜ 180^{\circ}$）. 如果两只蚂蚁都在第 $14$ 秒时回到点 $A$，并且在第 $2$ 秒时均位于第二象限.
(1) 求 $\alpha$，$\beta$ 的值；
(2) 两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点 $A$

逆

时

针

方向匀速爬行，黑蚂蚁同时从点 $A$

顺

时

针

方向匀速爬行，求当它们从点 $A$ 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离.

答案：
(1) $\alpha = \left(\frac{360}{7}\right)°$，$\beta = \left(\frac{540}{7}\right)°$；
(2) $\frac{4\pi}{5}$ cm。