《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

5. 已知 $ a b＞0 $，有下列四个等式：
① $ \frac{1}{2} \lg \left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\lg \frac{a}{b} $；② $ \lg \left(\frac{a}{b}\right)=\lg a-\lg b $；
③ $ \lg (a b)=\lg a+\lg b $；④ $ \lg (a b)=\frac{1}{\log$${a b} 10} $，
其中正确的是(D)

A.①②③④
B.①②
C.③④
D.①

答案： 解析：②③式成立的前提条件是$a ＞ 0$，$b ＞ 0$；④式成立的前提条件是$ab \neq 1$，只有①式成立。故选 D。

6. 已知 $ \log$${a} x=2 $，$ \log$${b} x=1 $，$ \log$${c} x=4(a $，$ b $，$ c $，$ x＞0 $ 且 $ a $，$ b $，$ c $，$ x \neq 1) $，则 $ \log$${x}(a b c)= $(D)

A.$ \frac{4}{7} $
B.$ \frac{2}{7} $
C.$ \frac{7}{2} $
D.$ \frac{7}{4} $

答案： 解析：因为$x = a^{2} = b = c^{4}$，所以$(abc)^{4} = x^{7}$，所以$abc = x^{\frac{7}{4}}$。即$\log_{x}(abc) = \frac{7}{4}$。故选 D。

7. 设 $ \log$${8} 3=p $，$ \log$${3} 5=q $，则 $ \lg 5= $(C)

A.$ p^{2}+q^{2} $
B.$ \frac{1}{5}(3 p+2 q) $
C.$ \frac{3 p q}{1+3 p q} $
D.$ p q $

答案： 解析：因为$\log_{8}3 = \frac{\lg 3}{\lg 8} = \frac{\lg 3}{3\lg 2} = p$，所以$\lg 3 = 3p\lg 2$。因为$\log_{3}5 = \frac{\lg 5}{\lg 3} = q$，所以$\lg 5 = q\lg 3 = 3pq\lg 2 = 3pq(1 - \lg 5)$，所以$\lg 5 = \frac{3pq}{1 + 3pq}$。故选 C。

8. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：$ C=W \log$${2}\left(1+\frac{S}{N}\right) $，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $ C $ 取决于信道带宽 $ W $，信道内信号的平均功率 $ S $，信道内部的高斯噪声功率 $ N $ 的大小，其中 $ \frac{S}{N} $ 叫做信噪比. 当信噪比比较大时，公式中真数内的 1 可以忽略不计. 按照香农公式，若不改变带宽 $ W $，而将信噪比 $ \frac{S}{N} $ 从 1000 提至 4000，则 $ C $ 大约增加了(B)
附：$ \lg 2 \approx 0.30 $

A.$ 10 \% $
B.$ 20 \% $
C.$ 50 \% $
D.$ 100 \% $

答案： 解析：$C_{1} = W\log_{2}1000 = W · 3\frac{1}{\lg 2} = 10W$，$C_{2} = W\log_{2}4000 = 12W$，增加了$20\%$。故选 B。

9. 已知 $ 3^{a}=5^{b}=15 $，则 $ a $，$ b $ 满足的关系是(ABD)

A.$ a b＞4 $
B.$ a+b＞4 $
C.$ a^{2}+b^{2}＜4 $
D.$ (a+1)^{2}+(b+1)^{2}＞16 $

答案： 解析：因为$3^{a} = 5^{b} = 15$，所以$a \neq b$，$a = \log_{3}15$，$b = \log_{5}15$，所以$\log_{15}3 = \frac{1}{a}$，$\log_{15}5 = \frac{1}{b}$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$。由$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$可得$ab ＞ 4$，$a + b ＞ 4$，$a^{2} + b^{2} ＞ 8$，所以$(a + 1)^{2} + (b + 1)^{2} = a^{2} + 2a + 1 + b^{2} + 2b + 1 ＞ 18 ＞ 16$。故选 ABD。

10. 已知 $ 5^{a}=3 $，$ 8^{b}=5 $，则(ABD)

A.$ a＜b $
B.$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞2 $
C.$ a+\frac{1}{a}＜b+\frac{1}{b} $
D.$ a+a^{b}＜b+b^{a} $

答案： 解析：因为$5^{a} = 3$，$8^{b} = 5$，所以$a = \log_{5}3$，$b = \log_{8}5$，可以验证得$\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{4}$和$\frac{3}{4} ＜ b ＜ 1$，所以$a ＜ b$，故选项 A 正确。因为$0 ＜ a = \log_{5}3 ＜ 1$，$0 ＜ b = \log_{8}5 ＜ 1$，则$\frac{1}{a} ＞ 1$，$\frac{1}{b} ＞ 1$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} ＞ 2$，故选项 B 正确。因为$a ＜ b$，$0 ＜ a ＜ b ＜ 1$，则$b - a ＞ 0$，$\frac{1}{ab} ＞ 1$，此时$a + \frac{1}{a} - (b + \frac{1}{b}) = (a - b) + \frac{b - a}{ab} = (b - a) · (\frac{1}{ab} - 1) ＞ 0$，所以$a + \frac{1}{a} ＞ b + \frac{1}{b}$，故选项 C 不正确。由$\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{4}$和$\frac{3}{4} ＜ b ＜ 1$知$f(x) = a^{x}$与$g(x) = b^{x}$均递减，再由$a$，$b$的大小关系知$a^{b} ＜ b^{b} ＜ b^{a}$，即$a^{b} ＜ b^{a}$，所以$a + a^{b} ＜ b + b^{a}$，故选项 D 正确。故选 ABD。

11. 已知正数 $ x $，$ y $，$ z $ 满足 $ 3^{x}=4^{y}=6^{z} $，则下列说法中正确的是(ACD)

A.$ \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=\frac{1}{z} $
B.$ 3 x＞4 y＞6 z $
C.$ x+y＞\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right) z $
D.$ x y＞2 z^{2} $

答案： 解析：设$3^{x} = 4^{y} = 6^{z} = t(t ＞ 1)$，则$x = \frac{1}{\log_{t}3}$，$y = \frac{1}{\log_{t}4}$，$z = \frac{1}{\log_{t}6}$。因为$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = \log_{t}3 + \frac{1}{2}\log_{t}4 = \log_{t}6 = \frac{1}{z}$，故选项 A 正确。因为$\frac{4}{x} = 4\log_{t}3 = \log_{t}81$，$\frac{3}{y} = 3\log_{t}4 = \log_{t}64$，所以$\frac{4}{x} ＞ \frac{3}{y}$，即$3x ＜ 4y$，故选项 B 不正确。因为$\frac{x + y}{z} = \frac{x}{z} + \frac{y}{z} = \frac{\lg 6}{\lg 3} + \frac{\lg 6}{\lg 4} = \frac{3}{2} + (\frac{\lg 2}{\lg 3} + \frac{\lg 3}{2\lg 2}) ＞ \frac{3}{2} + \sqrt{2}$，故选项 C 正确。因为$\frac{xy}{z^{2}} = \frac{x}{z} × \frac{y}{z} = \log_{3}6 × \log_{4}6 = \frac{\lg^{2}6}{\lg 3 × 2\lg 2} = \frac{\lg^{2}2 + 2\lg 2 × \lg 3 + \lg^{2}3}{2\lg 2 × \lg 3} = 1 + \frac{1}{2}(\frac{\lg 2}{\lg 3} + \frac{\lg 3}{\lg 2}) ＞ 2$，故选项 D 正确。故选 ACD。

12. 设 $ a $，$ b $ 均为实数，且 $ 3^{a}=6^{b}=4 $，则 $ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}= $$-\frac{1}{2}$.

答案： 解析：（方法 1）$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{\log_{3}4} - \frac{1}{\log_{6}4} = \log_{4}3 - \log_{4}6 = -\frac{1}{2}$。（方法 2）注意到$4^{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{4^{\frac{1}{a}}}{4^{\frac{1}{b}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{1}{2}$。

13. 若 $ \log$${a} b · \log$${b} c · \log$${c} 27=3 $，则 $ a= $3.（$ a $，$ b $，$ c＞0 $ 且 $ a $，$ b $，$ c \neq 1 $）

答案： 解析：（方法 1）由已知可得$\frac{\lg b}{\lg a} · \frac{\lg c}{\lg b} · \frac{\lg 27}{\lg c} = 3$，即$\frac{\lg 27}{\lg a} = 3$，所以$\lg 27 = 3\lg a$，所以$a^{3} = 27$，即$a = 3$。（方法 2）由已知得$\log_{a}b · \frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} · \frac{\log_{a}27}{\log_{a}c} = 3$，即$\log_{a}27 = 3$，所以$a = 3$。

14. 若 $ \lg 4 x+\lg y=2 \lg (x-3 y) $，则 $ \frac{x}{y}= $9.

答案： 解析：因为$\lg 4x + \lg y = 2\lg(x - 3y)$，所以$\begin{cases}x ＞ 0, y ＞ 0, \\ x - 3y ＞ 0, \\ 4xy = (x - 3y)^{2}.\end{cases}$由$4xy = (x - 3y)^{2}$知$x^{2} - 10xy + 9y^{2} = 0$，所以$x = y$或$x = 9y$。又$x ＞ 0$，$y ＞ 0$且$x - 3y ＞ 0$，故$x = 9y$，则$\frac{x}{y} = 9$。

15. 已知函数 $ f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} $，则 $ f\left(\log$${2} 5\right)+f\left(\log$${4} \frac{1}{25}\right)= $1.

答案： 解析：因为$\log_{2}5 + \log_{4}\frac{1}{25} = 0$，又$f(x) + f(-x) = \frac{1}{e^{-x} + 1} + \frac{1}{e^{x} + 1} = 1$，所以$f(\log_{2}5) + f(\log_{4}\frac{1}{25}) = 1$。