《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17. 已知 $ a \in \mathbf{R} $，集合 $ A = \{ x | x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \} $，$ B = \{ x | x^{2} - ax - 2 = 0 \} $。
（1）若 $ a = 1 $，求 $ A \cap B $，$ \complement_{\mathbf{R}}A $；
（2）若 $ A \cup B = A $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 17. 解析:
(1)因为$A=\{ x|x^{2}-2x-3≤0\} =[-1,3],$所以$\complement$_________${R}A=(-∞,-1)\cup (3,+∞).$因为$a=1$,所以$B=\{ x|x^{2}-x-2=0\} =\{ -1,2\} ,$故$A\cap B=\{ -1,2\} .$
(2)因为$A\cup B=A$,所以$B\subseteq A,$即方程$x^{2}-ax-2=0$的解在$[-1,3]$内.令$f(x)=x^{2}-ax-2,$因为$f(0)=-2＜0,$所以只要$\left\{\begin{array}{l} f(-1)=a-1≥0,\\ f(3)=7-3a≥0,\end{array}\right. $解得$1≤a≤\frac {7}{3}.$

18. 已知集合 $ A = \{ x | x^{2} - 4x - a^{2} + 4 \leq 0 \} $，$ B = \{ x | | 2x - 5 | ＞ 3 \} $。
（1）当 $ a = 3 $ 时，求 $ A \cap B $；
（2）当“$ x \in A $”是“$ x \in \complement_{\mathbf{R}}B $”的必要不充分条件，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 18. 解析:
(1)当$a=3$时,$A=\{ x|x^{2}-4x-5≤0\} =\{ x|-1≤x≤5\} ,B=\{ x|x＞4$或$x＜1\} ,$所以$A\cap B=\{ x|-1≤x＜1$或$4＜x≤5\} .$
(2)因为$\complement$_________${R}B=\{ x|1≤x≤4\} ,A=\{ x|x^{2}-4x-a^{2}+4≤0\} =\{ x|(x-a-2)(x+a-2)≤0\} ,$又因为“$x∈A$”是“$x∈\complement$_________${R}B$”的必要不充分条件,所以$\complement$_________${R}B\subsetneqq A.$当$a≥0$时,$A=\{ x|2-a≤x≤2+a\} ,$由$\complement$_________${R}B\subsetneqq A$可得$\left\{\begin{array}{l} 2-a≤1,\\ 2+a＞4\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 2-a＜1,\\ 2+a≥4,\end{array}\right. $所以$a≥2;$当$a＜0$时,$A=\{ x|2+a≤x≤2-a\} ,$由$\complement$_________${R}B\subsetneqq A$可得$\left\{\begin{array}{l} 2+a≤1,\\ 2-a＞4\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 2+a＜1,\\ 2-a≥4,\end{array}\right. $所以$a≤-2.$故$a$的取值范围是$a≤-2$或$a≥2.$

19. 已知集合 $ A = \{ 1, 2, ·s, n - 1 \} $，集合 $ B_{m} = \left\{ x \left| \frac{x^{2} - m}{n} \in \mathbf{Z}, x, m \in A \right. \right\} $，$ | B_{m} | $ 表示集合 $ B_{m} $ 中元素的个数。
（1）若 $ n = 5 $，求 $ B_{1} $，$ B_{2} $；
（2）若 $ n = 97 $。
① 求 $ | B_{m} | $ 的最大值；
② 求证：$ | B_{1} | + | B_{2} | + ·s + | B_{n - 1} | \geq 96 $。

答案： 19. 解析:
(1)$B_{1}=\{ x|\frac {x^{2}-1}{5}∈Z,x,m∈A\} =\{ 1,4\} ,$$B_{2}=\varnothing .$
(2)①$|B_{m}|$的最大值为 2,证明如下:$\frac {1^{2}-1}{97}=0∈Z,\frac {96^{2}-1}{97}=\frac {97×95}{97}=95∈Z$,则$1,96∈B_{1}$,即存在$B_{m}$非空,取非空集合$B_{m},$且$x_{0}∈B.$(i)若$\frac {x_{0}^{2}-m}{97}∈Z$,则$\frac {(97-x_{0})^{2}-m}{97}=97-2x_{0}+\frac {x_{0}^{2}-m}{97}∈Z$,即$97-x_{0}∈B_{m}$,且$97-x_{0}≠x_{0}.$(ii)若还存在$x_{1}∈B_{m}$,即$\frac {x_{1}^{2}-m}{97}∈Z$,则$\frac {x_{1}^{2}-m}{97}-\frac {x_{0}^{2}-m}{97}=\frac {x_{1}^{2}-x_{0}^{2}}{97}=\frac {(x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0})}{97}∈Z.$又$2≤x_{1}+x_{0}≤2×96,-95≤x_{1}-x_{0}≤95$,且 97为质数,则必有$x_{1}=x_{0}$或$x_{1}=97-x_{0}$,即若$B_{m}$非空,则有且仅有 2 个元素,且这样的$B_{m}$存在.②若$\frac {x^{2}-m}{n}∈Z$,即$x^{2}=kn+m$,即$m$表示$x^{2}$除以$n$的余数,下面证明,$m$可取$1^{2},2^{2},…,48^{2}$除以$n$的余数,且两两不相等.任取$p^{2}＞q^{2}∈\{ 1^{2},2^{2},…,48^{2}\} $,则$p^{2}-q^{2}=(p+q)(p-q)$.因为$3≤p+q≤95,1≤p-q≤47$,均不是质数 97 的倍数,所以$p^{2},q^{2}$除以$n$的余数两两不相等,即满足条件的非空$B_{m}$至少有 48 个.由
(1)知,每个集合有 2 个元素,所以$|B_{1}|+|B_{2}|+…+|B_{n-1}|≥96.$