《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x + 2) $ 的单调递减区间是(B)

A.$ (-\infty,1) $
B.$ (2,+\infty) $
C.$ \left(-\infty,\frac{3}{2}\right) $
D.$ \left(\frac{3}{2},+\infty\right) $

答案： 1. 解析:函数$ f(x) $的定义域为$ (-\infty,1)\cup(2,+\infty) $,
令$ t(x)=x^{2}+3x + 2 $,函数$ t(x) $在$ (-\infty,1) $上单调递减,在$ (2,+\infty) $上单调递增,
根据复合函数同增异减的原则,函数$ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-3x + 2) $在$ (2,+\infty) $上单调递减. 故选B.

2. 设 $ f(x) = x^2 + bx + c $，若方程 $ f(x) = x $ 无实根，则方程 $ f[f(x)] = x $(D)

A.有四个相异实根
B.有两个相异实根
C.有一个实根
D.无实数根

答案： 2. 解析:(方法1)显然由前面计算可知,这个方程存在4个虚根,故选D.
(方法2)因为方程$ f(x)=x $无实根,则由二次函数图象可知$ f(x)=x^{2}+bx + c $在直线$ y = x $上方,即$ f(x)＞x $,所以$ f[f(x)]＞f(x)＞x $. 故选D.

3. 已知 $ f(x^2 - 4) = \lg \frac{x^2}{x^2 - 8} $，则函数 $ f(x) $ 的定义域为$(4,+\infty)$。

答案： 3. 解析:由$ f(x^{2}-4)=\lg\frac{x^{2}}{x^{2}-8} $知$ \frac{x^{2}}{x^{2}-8}＞0 $,
解得$ x^{2}-4＞4 $,故$ f $的作用范围为$ (4,+\infty) $,
又$ f $对$ x $作用,作用范围不变,
所以$ x\in(4,+\infty) $,
即$ f(x) $的定义域为$ (4,+\infty) $.

4. 设 $ f(x) = x^2 - 3x - m(m \in \mathbf{R}) $，集合 $ A = \{x|f(x) = x\} $，$ B = \{x|f[f(x)] = x\} $，若 $ A = B \neq \varnothing $，则实数 $ m $ 的取值范围是$-4\leq m＜-3$。

答案： 4. 解析:设$ f(x)-x=(x - x_{1})(x - x_{2}) $,
所以$ f(x)-x_{1}=(x - x_{1})(x - x_{2}+1) $,
$ f(x)-x_{2}=(x - x_{2})(x - x_{1}+1) $,
所以$ f(f(x))-x=[f(x)-x_{1}][f(x)-x_{2}]+f(x)-x $
$ =[f(x)-x_{1}][f(x)-x_{2}]+(x - x_{1})(x - x_{2}) $
$ =(x - x_{2})(x - x_{1}+1)(x - x_{1})(x - x_{2}+1)+(x - x_{1})(x - x_{2}) $
$ =(x - x_{1})(x - x_{2})[(x - x_{1}+1)(x - x_{2}+1)+1] $
$ =(x - x_{1})(x - x_{2})(x^{2}-2x - m - 2) $,
对于$ x^{2}-3x - m = x $,有$ \Delta_{1}=4^{2}+4m\geq0 $,
对于$ x^{2}-2x - m - 2 = 0 $,有$ \Delta_{2}=2^{2}+4(m + 2)＜0 $,
解得$ -4\leq m＜-3 $.

5. 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ x \in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) $，求 $ g(x) = f(ax) + f\left(\frac{x}{a}\right)(a ＞ 0) $ 的定义域。

答案： 5. 解析:由题意可得$ \begin{cases} -\frac{1}{2}＜ax＜\frac{3}{2}, \\ -\frac{1}{2}＜\frac{x}{a}＜\frac{3}{2}, \end{cases} $
解得$ \begin{cases} -\frac{1}{2a}＜x＜\frac{3}{2a}, \\ -\frac{a}{2}＜x＜\frac{3}{2}a. \end{cases} $
(1)当$ a = 1 $时,定义域为$ \left\{x\mid -\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\right\} $;
(2)当$ \frac{3}{2a}＞\frac{3}{2}a $,即$ 0＜a＜1 $时,有$ -\frac{a}{2}＞-\frac{1}{2a} $,定义域为$ \left\{x\mid -\frac{a}{2}＜x＜\frac{3}{2}a\right\} $;
(3)当$ \frac{3}{2a}＜\frac{3}{2}a $,即$ a＞1 $时,有$ -\frac{1}{2a}＞-\frac{a}{2} $,定义域为$ \left\{x\mid -\frac{1}{2a}＜x＜\frac{3}{2a}\right\} $.
故当$ a\geq1 $时,定义域为$ \left\{x\mid -\frac{1}{2a}＜x＜\frac{3}{2a}\right\} $;
当$ 0＜a＜1 $时,定义域为$ \left\{x\mid -\frac{a}{2}＜x＜\frac{3}{2}a\right\} $.