《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 6】已知函数 $ f(x) = \log_{3}\frac{2 - x}{a + bx}(a ＞ 0, b ＞ 0) $ 在其定义域内是奇函数。
(1) 求 $ a $，$ b $ 的值，并判断 $ f(x) $ 的单调性；（写出简要理由，不要求用定义证明）
(2) 解关于 $ x $ 的不等式 $ f(4^{x} - 2^{x}) + f(4^{x} - 2^{x} - 1) ＜ 1 $。

答案：
(1) $ a = 2 $，$ b = 1 $，$ f(x) $ 在 $ (-2, 2) $ 上单调递减；
(2) $ (0, 1) $。

【例 7】已知函数 $ f(x) = \log_{2}(x^{2} - 2ax + 4) $。
(1) 若 $ f(\frac{1}{a}) = 2 $，求实数 $ a $ 的值；
(2) 若函数 $ f(x) $ 在 $ [a, +\infty) $ 上有定义，且存在区间 $ [m, n] \subseteq [a, +\infty) $ 使得 $ f(x) $ 在 $ [m, n] $ 上的值域是 $ [\log_{2}m, \log_{2}n] $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
(1) 因为 $ f\left(\frac{1}{a}\right) = 2 $，且 $ f(x) = \log_{2}(x^{2} - 2ax + 4) $，所以
$ \log_{2}\left(\left(\frac{1}{a}\right)^{2} - 2a · \frac{1}{a} + 4\right) = 2 $，
化简得 $ \log_{2}\left(\frac{1}{a^{2}} + 2\right) = 2 $，
则 $ \frac{1}{a^{2}} + 2 = 2^{2} = 4 $，即 $ \frac{1}{a^{2}} = 2 $，
解得 $ a^{2} = \frac{1}{2} $，故 $ a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $。
(2) 函数 $ f(x) $ 在 $ [a, +\infty) $ 上有定义，则真数 $ x^{2} - 2ax + 4 ＞ 0 $ 在 $ [a, +\infty) $ 上恒成立。
令 $ g(x) = x^{2} - 2ax + 4 $，其对称轴为 $ x = a $，在 $ [a, +\infty) $ 上单调递增，
最小值 $ g(a) = a^{2} - 2a^{2} + 4 = -a^{2} + 4 $，故 $ -a^{2} + 4 ＞ 0 $，解得 $ -2 ＜ a ＜ 2 $。
因为 $ f(x) = \log_{2}(g(x)) $ 且 $ g(x) $ 在 $ [a, +\infty) $ 单调递增，所以 $ f(x) $ 在 $ [a, +\infty) $ 单调递增。
由值域 $ [\log_{2}m, \log_{2}n] $ 知 $ f(m) = \log_{2}m $，$ f(n) = \log_{2}n $，
即 $ \log_{2}(m^{2} - 2am + 4) = \log_{2}m $，$ \log_{2}(n^{2} - 2an + 4) = \log_{2}n $，
故 $ m, n $ 是方程 $ x^{2} - (2a + 1)x + 4 = 0 $ 在 $ [a, +\infty) $ 上的两个不等正根。
令 $ h(x) = x^{2} - (2a + 1)x + 4 $，则
$ \begin{cases} \Delta = (2a + 1)^{2} - 16 ＞ 0, \\h(a) = a^{2} - (2a + 1)a + 4 \leq 0, \\-2 ＜ a ＜ 2 \end{cases} $，
解得 $ \frac{3}{2} ＜ a \leq \frac{\sqrt{17} - 1}{2} $。
(1) $ a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $；
(2) $ \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{17} - 1}{2} \right] $