《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 在桥头树立的“限重 40 吨”的警示牌是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量 $ T $ 不超过 40 吨，用不等式表示为(C)

A.$ T ＜ 40 $
B.$ T ＞ 40 $
C.$ T \leq 40 $
D.$ T \geq 40 $

答案： 1.解析:“不超过”即“≤”,故选C.

2. 若不等式 $ ax^{2} + bx + 2 ＞ 0 $ 的解集是 $ \left\{ x \mid -\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{1}{3} \right\} $，则 $ a + b = $(B)

A.$ -10 $
B.$ -14 $
C.$ 10 $
D.$ 14 $

答案： 2.解析:由题意知$-\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$是方程$ax^{2}+bx + 2 = 0$的两个根，$a\lt0$，由韦达定理得$\begin{cases}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{b}{a},\\-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{a},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 12,\\b = - 2,\end{cases}$所以$a + b = - 14$，故选B.

3. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示，反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 与正比例函数 $ y = (b + c)x $ 在同一坐标系中的大致图象可能是(B)

答案： 3.解析:由二次函数图象可知$a\gt0$，$c\lt0$，由对称轴$x = -\frac{b}{2a}\gt0$知$b\lt0$，所以正比例函数$y = (b + c)x$的图象经过二、四象限，且经过原点，反比例函数$y = \frac{a}{x}$的图象经过一、三象限，故选B.

4. 某金店用一台不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买 $ 10g $ 黄金，售货员先将 $ 5g $ 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后交给顾客；然后又将 $ 5g $ 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又交给顾客，则该顾客实际所得黄金重量(A)

A.大于 $ 10g $
B.小于 $ 10g $
C.大于等于 $ 10g $
D.小于等于 $ 10g $

答案： 4.解析:由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为$a$，右臂长为$b$（不妨设$a\gt b$），先称得的黄金的实际质量为$m_{1}$，后称得的黄金的实际质量为$m_{2}$.由杠杆平衡原理，$bm_{1} = 5a$，$am_{2} = 5b$，解得$m_{1} = \frac{5a}{b}$，$m_{2} = \frac{5b}{a}$，则$m_{1} + m_{2} = 5\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)$.由于$m_{1} + m_{2} - 10 = 5\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2\right)\gt0$，则$m_{1} + m_{2}\gt10$，故选A.

5. 在 $ \mathbf{R} $ 上定义运算：$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $，若不等式 $ \begin{vmatrix} x - 1 & a - 2 \\ a + 1 & x \end{vmatrix} \geq 1 $ 对任意实数 $ x $ 恒成立，则实数 $ a $ 的最大值为( )

A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ -\frac{3}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{3}{2} $

答案： 5.解析:由题意得$x(x - 1) - (a - 2)(a + 1)\geq1$，即$a^{2} - a - 1\leq x^{2} - x$在$\mathbf{R}$上恒成立.由于$x^{2} - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}\geq - \frac{1}{4}$，则$a^{2} - a - 1\leq - \frac{1}{4}$，解得$-\frac{1}{2}\leq a\leq\frac{3}{2}$，所以实数$a$的最大值为$\frac{3}{2}$，故选D.

6. 若 $ a ＜ 0 $，则关于 $ x $ 的不等式 $ (ax - 1)(x - 2) ＞ 0 $ 的解集为(B)

A.$ \left\{ x \mid 2 ＜ x ＜ \frac{1}{a} \right\} $
B.$ \left\{ x \mid \frac{1}{a} ＜ x ＜ 2 \right\} $
C.$ \left\{ x \mid x ＜ \frac{1}{a} 或 x ＞ 2 \right\} $
D.$ \left\{ x \mid x ＜ 2 或 x ＞ \frac{1}{a} \right\} $

答案： 6.解析:方程$(ax - 1)(x - 2) = 0$的两个根为$2$和$\frac{1}{a}$，因为$a\lt0$，所以$\frac{1}{a}\lt2$，故不等式$(ax - 1)(x - 2)\gt0$的解集为$\left\{x\mid\frac{1}{a}\lt x\lt2\right\}$. 故选B.

7. 已知正数 $ a $，$ b $ 满足 $ a + b = 2 $，则 $ \frac{a}{a + 1} + \frac{4b}{b + 1} $ 的最大值是(B)

A.$ \frac{9}{2} $
B.$ \frac{11}{4} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{7}{3} $

答案： 7.解析:$\frac{a}{a + 1} + \frac{4b}{b + 1} = \frac{a + 1 - 1}{a + 1} + \frac{4(b + 1) - 4}{b + 1} = 5 - \left(\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1}\right)$.因为$a + b = 2$，所以$(a + 1) + (b + 1) = 4$，从而$\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1} = \frac{1}{4}· 4· \left(\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1}\right)=\frac{1}{4}· [(a + 1) + (b + 1)]· \left(\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1}\right)=\frac{1}{4}\left[5 + \frac{b + 1}{a + 1} + \frac{4(a + 1)}{b + 1}\right]\geq \frac{1}{4}\left[5 + 2\sqrt{\frac{b + 1}{a + 1}· \frac{4(a + 1)}{b + 1}}\right] = \frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{b + 1}{a + 1} = \frac{4(a + 1)}{b + 1}$，即$b = 2a + 1$时取等号，此时$\begin{cases}a = \frac{1}{3},\\b = \frac{5}{3},\end{cases}$从而$\frac{a}{a + 1} + \frac{4b}{b + 1} = 5 - \left(\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1}\right)\leq 5 - \frac{9}{4} = \frac{11}{4}$，故选B.