《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 已知 $ -6 ＜ a + 2b ＜ -3,5 ＜ a - b ＜ 7 $，求 $ 2a + b $ 的取值范围。

答案： 设2a + b = x(a + 2b) + y(a - b)，则(x + y)a + (2x - y)b = 2a + b，
x + y = 2，
2x - y = 1，
解得x = 1，y = 1，
2a + b = (a + 2b) + (a - b)，
因为-6 ＜ a + 2b ＜ -3，5 ＜ a - b ＜ 7，
所以-6 + 5 ＜ 2a + b ＜ -3 + 7，
即-1 ＜ 2a + b ＜ 4。

【例 6】以 $ \max M $ 表示数集 $ M $ 中最大的数。设 $ 0 ＜ a ＜ b ＜ c ＜ 1 $，已知 $ b\geqslant 2a $ 或 $ a + b\leqslant 1 $，则 $ \max\{b - a,c - b,1 - c\} $ 的最小值为。

答案： 设$ M = \max\{b - a, c - b, 1 - c\} $，则$ M \geq b - a $，$ M \geq c - b $，$ M \geq 1 - c $。
情况1：$ b \geq 2a $
令$ b - a = M $，$ c - b = M $，$ 1 - c = M $，则$ c = 1 - M $，$ b = c - M = 1 - 2M $，$ a = b - M = 1 - 3M $。
由$ b \geq 2a $得$ 1 - 2M \geq 2(1 - 3M) $，解得$ M \geq \frac{1}{4} $。
此时$ a = \frac{1}{4} $，$ b = \frac{1}{2} $，$ c = \frac{3}{4} $，满足条件。
情况2：$ a + b \leq 1 $
令$ b - a = M $，$ c - b = M $，$ 1 - c = M $，则$ c = 1 - M $，$ b = 1 - 2M $，$ a = 1 - 3M $。
由$ a + b \leq 1 $得$ (1 - 3M) + (1 - 2M) \leq 1 $，解得$ M \geq \frac{1}{5} $。
此时$ a = \frac{2}{5} $，$ b = \frac{3}{5} $，$ c = \frac{4}{5} $，满足条件。
综上，$ M $的最小值为$ \frac{1}{5} $。
$\frac{1}{5}$

【例 7】现有 $ A,B,C,D $ 四个长方体容器，$ A,B $ 的底面积均为 $ x^2 $，高分别为 $ x,y $；$ C,D $ 的底面积均为 $ y^2 $，高分别为 $ x,y $(其中 $ x\neq y $)。现规定一种两人的游戏规则：每人从四个容器中取出两个盛水，盛水多者为胜。先取者在不能确定 $ x $ 和 $ y $ 的大小的情况下，有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

答案： 四个容器体积分别为：$A=x^3$，$B=x^2y$，$C=xy^2$，$D=y^3$。
所有可能取两个容器的组合及其体积和：
$AB$：$x^3+x^2y$
$AC$：$x^3+xy^2$
$AD$：$x^3+y^3$
$BC$：$x^2y+xy^2$
$BD$：$x^2y+y^3$
$CD$：$xy^2+y^3$
关键比较：$x^3 + y^3 - (x^2y + xy^2)=(x-y)^2(x+y)$，因$x\neq y$，$x＞0$，$y＞0$，故$(x-y)^2(x+y)＞0$，即$x^3 + y^3 ＞ x^2y + xy^2$。
分析各组合：
当$x＞y$时，$A＞B＞C＞D$，$AD$和为$x^3+y^3$，$BC$和为$x^2y+xy^2$，$AD＞BC$；
当$x＜y$时，$A＜B＜C＜D$，$AD$和为$x^3+y^3$，$BC$和为$x^2y+xy^2$，$AD＞BC$。
其他组合在$x＞y$与$x＜y$时胜负不确定。
答：必胜方案只有一种，即取$A,D$。