《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 2】已知集合 $ A = \{ x | x^2 - x = 0 \} $，$ B = \{ x \in \mathbf{N} | x^2 - 5x \leq 0 \} $，若 $ A \subseteq M \subsetneqq B $，则满足条件的集合 $ M $ 的个数为 (C)

A.7
B.8
C.15
D.16

答案： 解析 $ A = \{ 0, 1 \} $，$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} $，
因为 $ A \subseteq M \subsetneqq B $，所以集合 $ M $ 一定含有 $ 0 $，$ 1 $ 这两个元素，还可能有 $ \{ 2, 3, 4, 5 \} $ 的任何一个真子集中的所有元素，所以满足条件的集合 $ M $ 的个数为 $ 2^4 - 1 = 15 $。故选 C。
点睛 理解子集和真子集的概念，分析符合条件的集合的元素构成，熟悉子集的个数的计算公式。

变式 已知集合 $ A = \{ x | x^2 - x = 0 \} $，$ B = \{ x \in \mathbf{N} | x^2 - 5x \leq 0 \} $，若 $ A \subsetneqq M \subseteq B $，则满足条件的集合 $ M $ 的个数为 (C)

A.7
B.8
C.15
D.16

答案： 解析 $ A = \{ 0, 1 \} $，$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} $，
因为 $ A \subsetneqq M \subseteq B $，所以集合 $ M $ 一定含有 $ 0 $，$ 1 $ 这两个元素，还可能有 $ \{ 2, 3, 4, 5 \} $ 的任何一个非空子集中的所有元素，所以满足条件的集合 $ M $ 的个数为 $ 2^4 - 1 = 15 $。故选 C。

【例 3】设 $ M = \{ x | x^2 = 0 \} $，则下列关系中正确的是 (C)

A.$ \varnothing = M $
B.$ \{ 0 \} \in M $
C.$ \{ 0 \} \subseteq M $
D.$ \varnothing \in M $

答案： 解析 $ M = \{ x | x^2 = 0 \} = \{ 0 \} $，因为 $ \varnothing \neq M $，故选项 A 错误。因为集合与集合之间不能用“$ \in $”，故选项 B，D 都错误。因为 $ \{ 0 \} = M $，故 $ \{ 0 \} \subseteq M $ 是正确，故选 C。

【例 4】设集合 $ M = \{ (x_1, x_2, x_3, x_4) | x_i \in \{ 0, 1 \}, i = 1, 2, 3, 4 \} $。对于集合 $ M $ 的子集 $ A $，若任取 $ A $ 中两个不同元素 $ (y_1, y_2, y_3, y_4) $，$ (z_1, z_2, z_3, z_4) $，有 $ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = z_1 + z_2 + z_3 + z_4 $，且 $ y_1 + z_1 $，$ y_2 + z_2 $，$ y_3 + z_3 $，$ y_4 + z_4 $ 中有且只有一个为 $ 2 $，则称 $ A $ 是一个“好子集”。下列结论中正确的是 (A)

A.一个“好子集”中最多有 $ 3 $ 个元素
B.一个“好子集”中最多有 $ 4 $ 个元素
C.一个“好子集”中最多有 $ 6 $ 个元素
D.一个“好子集”中最多有 $ 8 $ 个元素

答案： 解析 因为 $ y_1 + z_1 $，$ y_2 + z_2 $，$ y_3 + z_3 $，$ y_4 + z_4 $ 中有且只有一个为 $ 2 $，不妨设 $ y_1 = z_1 = 1 $，则 $ y_2 + z_2 $，$ y_3 + z_3 $，$ y_4 + z_4 $ 三者为 $ 1 $ 或 $ 0 $。
若 $ y_2 + z_2 $，$ y_3 + z_3 $，$ y_4 + z_4 $ 三者均为 $ 0 $，则此时 $ A $ 中只有 $ 1 $ 个元素，即 $ A = \{ (1, 0, 0, 0) \} $，不符合要求，舍去。
若 $ y_2 + z_2 $，$ y_3 + z_3 $，$ y_4 + z_4 $ 三者中有 $ 1 $ 个 $ 0 $，则 $ A = \{ (1, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) \} $，有 $ 3 $ 个元素，满足要求。
若 $ y_2 + z_2 $，$ y_3 + z_3 $，$ y_4 + z_4 $ 三者中有 $ 2 $ 个 $ 0 $，或没有 $ 0 $，则此时不满足 $ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = z_1 + z_2 + z_3 + z_4 $。
综上，一个“好子集”中最多有 $ 3 $ 个元素。
故选 A。

【例 5】已知集合 $ A = \{ x | x^2 + 4x = 0 \} $，$ B = \{ x | x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 1 = 0 \} $，若 $ B \subseteq A $，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 解析 因为 $ A = \{ x | x^2 + 4x = 0 \} = \{ 0, -4 \} $，$ B = \{ x | x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 1 = 0 \} $，
又因为 $ B \subseteq A $，
①当 $ B = \varnothing $ 时，$ \Delta = 4(a + 1)^2 - 4(a^2 - 1) ＜ 0 $，解得 $ a ＜ -1 $；
②当 $ B = \{ 0 \} $ 时，则 $ \begin{cases} \Delta = 0, \\ a^2 - 1 = 0, \end{cases} $ 解得 $ a = -1 $；
③当 $ B = \{ -4 \} $ 时，
则 $ \begin{cases} \Delta = 0, \\ (-4)^2 - 8(a + 1) + a^2 - 1 = 0, \end{cases} $ 此时方程组无解。
④当 $ B = \{ -4, 0 \} $ 时，$ \begin{cases} -2(a + 1) = -4, \\ a^2 - 1 = 0, \end{cases} $ 解得 $ a = 1 $。
综上所述，$ a $ 的取值范围是 $ \{ a | a = 1 $ 或 $ a \leq -1 \} $。
点睛 求集合 $ A $ 的子集时要注意分类讨论思想的运用，同时不要遗漏空集和其本身。