《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 3】已知 $ -1 ＜ a ＜ 0,b ＜ 0 $，则 $ b,ab,a^2b $ 的大小关系为()

A.$ b ＜ ab ＜ a^2b $
B.$ b ＜ a^2b ＜ ab $
C.$ a^2b ＜ b ＜ ab $
D.$ a^2b ＜ ab ＜ b $

答案： B

【例 4】若 $ a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0,e ＜ 0 $，求证：$\frac{e}{a - c}＞\frac{e}{b - d}$。

答案： 证明：因为 $a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ d ＜ 0$，所以 $-c ＞ -d ＞ 0$。
由不等式的性质，得 $a - c = a + (-c) ＞ b + (-d) = b - d ＞ 0$，
所以 $\frac{1}{a - c} ＜ \frac{1}{b - d}$。
又因为 $e ＜ 0$，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，
所以 $\frac{e}{a - c} ＞ \frac{e}{b - d}$。

变式 若 $ a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0,e ＜ 0 $，求证：$\frac{e}{(a - c)^2}＞\frac{e}{(b - d)^2}$。

答案： 证明：
∵ $ c ＜ d ＜ 0 $，
∴ $ -c ＞ -d ＞ 0 $。
∵ $ a ＞ b ＞ 0 $，
∴ $ a - c ＞ b - d ＞ 0 $（不等式同向可加性）。
∴ $ (a - c)^2 ＞ (b - d)^2 ＞ 0 $（不等式两边为正，平方后不等号方向不变）。
∴ $ \frac{1}{(a - c)^2} ＜ \frac{1}{(b - d)^2} $（不等式两边为正，取倒数后不等号方向改变）。
∵ $ e ＜ 0 $，
∴ $ \frac{e}{(a - c)^2} ＞ \frac{e}{(b - d)^2} $（不等式两边同乘负数，不等号方向改变）。

【例 5】设 $ 2 ＜ a ＜ 3,-4 ＜ b ＜ -3 $，分别求 $ a + 2b,a - b,\frac{b}{a} $ 的取值范围。

答案： 求$a + 2b$的取值范围
因为$-4 ＜ b ＜ -3$，所以$-8 ＜ 2b ＜ -6$。
又因为$2 ＜ a ＜ 3$，两式相加得：$2 + (-8) ＜ a + 2b ＜ 3 + (-6)$，即$-6 ＜ a + 2b ＜ -3$。
求$a - b$的取值范围
因为$-4 ＜ b ＜ -3$，所以$3 ＜ -b ＜ 4$。
又因为$2 ＜ a ＜ 3$，两式相加得：$2 + 3 ＜ a - b ＜ 3 + 4$，即$5 ＜ a - b ＜ 7$。
求$\frac{b}{a}$的取值范围
因为$2 ＜ a ＜ 3$，所以$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{2}$。
又因为$-4 ＜ b ＜ -3$，且$\frac{1}{a} ＞ 0$，所以$-4 × \frac{1}{2} ＜ \frac{b}{a} ＜ -3 × \frac{1}{3}$，即$-2 ＜ \frac{b}{a} ＜ -1$。
结论：
$a + 2b$的取值范围是$(-6, -3)$；
$a - b$的取值范围是$(5, 7)$；
$\frac{b}{a}$的取值范围是$(-2, -1)$。