《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

8. 下列关于空集 $ \varnothing $ 的叙述，正确的是 (BD)

A.$ 0 \in \varnothing $
B.$ \varnothing \in \{ \varnothing \} $
C.$ \varnothing = \{ 0 \} $
D.$ \varnothing \subsetneqq \{ 0 \} $

答案： 8. 解析:因为$ \varnothing $中没有任何元素,$ 0\notin\varnothing $,故选项A错误.
因为$ \varnothing\in\{\varnothing\} $,故选项B正确.
因为$ \{0\}\neq\varnothing $,故选项C错误.
因为空集是任何非空集合的真子集,故选项D正确.
故选BD.

9. 设集合 $ M = \{ x | x = (a + 1)^2 + 2, a \in \mathbf{Z} \} $，$ P = \{ y | y = b^2 - 4b + 6, b \in \mathbf{N}^* \} $，则下列关系中正确的是 (BC)

A.$ P \subset M $
B.$ 1 \notin P $
C.$ M = P $
D.$ M \cap P = \varnothing $

答案： 9. 解析:因为$ a\in\mathbf{Z} $,所以$ a+1\in\mathbf{Z},(a+1)^{2}\in\mathbf{N} $.
因为$ b\in\mathbf{N}^{*} $,所以$ b^{2}-4b+6=(b-2)^{2}+2\geqslant2 $,所以$ M=P $,且$ 1\notin P $.故选BC.

10. 已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf{R} | x^2 - 3x - 18 ＜ 0 \} $，$ B = \{ x \in \mathbf{R} | x^2 + ax + a^2 - 27 ＜ 0 \} $，则下列命题中正确的是 (ABC)

A.若 $ A = B $，则 $ a = -3 $
B.若 $ A \subseteq B $，则 $ a = -3 $
C.若 $ B = \varnothing $，则 $ a \leq -6 $ 或 $ a \geq 6 $
D.若 $ B \subsetneqq A $，则 $ -6 ＜ a \leq -3 $ 或 $ a \geq 6 $

答案： 10. 解析:由已知可得$ A=\{x\mid -3＜x＜6\} $,若$ A=B $,则$ a=-3 $,且$ a^{2}-27=-18 $,解得$ a=-3 $,故选项A正确.
当$ a=-3 $时,$ A=B $,故选项D错误.
若$ A\subseteq B $,则$ (-3)^{2}+a·(-3)+a^{2}-27\leqslant0 $且$ 6^{2}+6a+a^{2}-27\leqslant0 $,解得$ a=-3 $,故选项B正确.
当$ B=\varnothing $时,$ a^{2}-4(a^{2}-27)\leqslant0 $,解得$ a\leqslant-6 $或$ a\geqslant6 $,故选项C正确.
故选ABC.

11. 已知集合 $ M $ 满足 $ \{ 1, 2 \} \subseteq M \subsetneqq \{ 1, 2, 5, 6, 7 \} $，则符合条件的集合 $ M $ 有7个。

答案： 11. 解析:由已知可得集合$ M=\{1,2\},\{1,2,5\},\{1,2,6\},\{1,2,7\},\{1,2,5,6\},\{1,2,5,7\},\{1,2,6,7\} $,共有7个.

12. 设集合 $ A = \{ x | | x - a | = 1 \} $，$ B = \{ -1, 0, b \} $($ b ＞ 0 $)，若 $ A \subseteq B $，则实数对 $ (a, b) $ 有2对。

答案： 12. 解析:由$ |x-a|=1 $解得$ x=a\pm1 $.
因为$ A\subseteq B $,所以$ a\pm1\in B $,
因为$ a+1＞a-1 $,所以$ a+1 $只能为0或$ b $.
若$ a+1=0,a-1=-1 $,解得$ a\in\varnothing $.
若$ a+1=b,a-1=0 $,解得$ a=1,b=2 $.
若$ a+1=b,a-1=-1 $,解得$ a=0,b=1 $.
综上,实数对$ (a,b) $为$ (1,2),(0,1) $,共有2对.

13. 若集合 $ A = \{ x | x^2 + 5x - 6 = 0 \} $，$ B = \{ x | ax + 3 = 0, a \in \mathbf{R} \} $，且 $ B \subseteq A $，则满足条件的实数 $ a $ 的取值集合为$\left\{-3,0,\frac{1}{2}\right\}$。

答案： 13. 解析:集合$ A=\{x\mid x^{2}+5x-6=0\}=\{1,-6\} $.
因为$ B\subseteq A $,
当$ B=\varnothing $时,即$ ax+3=0 $无解,此时$ a=0 $;
当$ B\neq\varnothing $时,$ ax+3=0 $有解,解得$ x=-\frac{3}{a} $,
若$ 1=-\frac{3}{a} $,解得$ a=-3 $;
若$ -6=-\frac{3}{a} $,解得$ a=\frac{1}{2} $;
所以实数$ a $的取值集合为$ \left\{-3,0,\frac{1}{2}\right\} $.

14. 设集合 $ S = \{ 1, 2 \} $，$ A $ 与 $ B $ 是 $ S $ 的两个子集，若 $ A \cup B = S $，则称 $ (A, B) $ 为集合 $ S $ 的一个“分拆”，当且仅当 $ A = B $ 时 $ (A, B) $ 与 $ (B, A) $ 是同一个“分拆”。那么集合 $ S $ 的不同的“分拆”有9个。

答案： 14. 解析:由于集合$ S=\{1,2\} $的子集为$ \varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\} $,
而由题意知,若$ A\cup B=S $,则称$ (A,B) $为集合$ S $的一个“分拆”,
①当$ A=\varnothing $时,$ B=S $;
②当$ A=\{1\} $时,$ B=\{2\} $或$ \{1,2\} $;
③当$ A=\{2\} $时,$ B=\{1\} $或$ \{1,2\} $;
④当$ A=\{1,2\} $时,$ B=\varnothing $或$ \{1\} $或$ \{2\} $或$ \{1,2\} $.
故集合$ S $的不同的“分拆”有9个.

15. 已知集合 $ A = \{ a, a - 1 \} $，$ B = \{ 2, y \} $，$ C = \{ x | 1 ＜ x - 1 ＜ 4 \} $。
（1）若 $ A = B $，求 $ y $ 的值；
（2）若 $ A \subseteq C $，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 15. 解析:
(1)若$ a=2 $,则$ A=\{1,2\} $,所以$ y=1 $.
若$ a-1=2 $,则$ a=3,A=\{2,3\} $,所以$ y=3 $.
综上,$ y $的值为1或3.
(2)因为$ C=\{x\mid 1＜x-1＜4\}=\{x\mid 2＜x＜5\} $,
集合$ A=\{a,a-1\} $.
因为$ A\subseteq C $,所以$ \begin{cases}2＜ a＜5,\\2＜ a-1＜5,\end{cases} $解得$ 3＜ a＜5 $.
所以$ a $的取值范围是$ (3,5) $.