《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 已知关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c＞0(a,b,c\in\mathbf{R})$的解集为$\{x|3＜x＜4\}$，则$\frac{c^{2}+5}{a + b}$的取值范围为。

答案： 由不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集为$\{x|3＜x＜4\}$，知$a＜0$，且方程$ax^{2}+bx + c=0$的两根为$3$和$4$。
由根与系数的关系得：$\begin{cases}-\frac{b}{a}=3 + 4=7\frac{c}{a}=3×4=12\end{cases}$，则$b=-7a$，$c=12a$。
所以$a + b=a-7a=-6a$，$c^{2}=(12a)^{2}=144a^{2}$，故$\frac{c^{2}+5}{a + b}=\frac{144a^{2}+5}{-6a}=-24a+\frac{5}{-6a}$。
因为$a＜0$，所以$-24a＞0$，$\frac{5}{-6a}＞0$，由基本不等式得：
$-24a+\frac{5}{-6a}\geq2\sqrt{(-24a)×\frac{5}{-6a}}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$，当且仅当$-24a=\frac{5}{-6a}$，即$a=-\frac{\sqrt{5}}{12}$时取等号。
因此，$\frac{c^{2}+5}{a + b}$的取值范围是$[4\sqrt{5},+\infty)$。
$[4\sqrt{5},+\infty)$

【例5】(1)已知函数$f(x)=-x^{2}+ax + 11 - a$，当$-2\leqslant x\leqslant2$时，$f(x)\geqslant0$恒成立，则实数$a$的取值范围为。
(2)若不等式$(m - 1)x^{2}+3(m - 1)x - m＜0$对任意实数$x$都成立，则实数$m$的取值范围为。

答案：
(1)$-7\leqslant a\leqslant\frac{7}{3}$；
(2)$\frac{9}{13}＜m\leqslant1$