《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 6】（1）已知$f(\cos x)=\cos3x$，求$f(\sin10^{\circ})$的值；
（2）已知$f(n)=\sin(\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{3})(n\in\mathbf{N}^{*})$，求$f(1)+f(2)+·s +f(2025)$的值。

答案： （1）$f(\sin10^{\circ})=f(\cos(90^{\circ}-10^{\circ}))=f(\cos80^{\circ})=\cos(3×80^{\circ})=\cos240^{\circ}=\cos(180^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$。
（2）$f(1)=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$；
$f(2)=\sin(\pi-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$f(3)=\sin(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}$；
$f(4)=\sin(2\pi-\frac{\pi}{3})=\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$f(5)=\sin(\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{2\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})=\sin(2\pi+\frac{\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，周期$T=4$。
$2025=4×506 + 1$，
$f(1)+f(2)+·s+f(2025)=506×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)) + f(1)=506×0 + \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

【例 7】(多选)已知角$\theta$和角$\varphi$都是任意角，若满足$\theta+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，则称角$\theta$和角$\varphi$“广义互余”。若$\sin(\pi+\alpha)=-\frac{1}{4}$，则下列角$\beta$中，可能与角$\alpha$“广义互余”的有()

A.$\sin\beta=\frac{\sqrt{15}}{4}$
B.$\cos(\pi+\beta)=\frac{1}{4}$
C.$\tan\beta=\sqrt{15}$
D.$\tan\beta=\frac{\sqrt{15}}{5}$

答案： AC