《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

1. 有一家三口的年龄之和为 65 岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为 $ x,y,z $，则下列选项中能反映 $ x,y,z $ 之间关系的是(C)

A.$ x + y + z = 65 $
B.$ \begin{cases}x + y + z = 65\\ x ＞ y ＞ z\\ x,y,z\in\mathbf{N}^*\end{cases} $
C.$ \begin{cases}x + y + z = 65\\ x ＞ z ＞ 0\\ y ＞ z ＞ 0\\ x,y,z\in\mathbf{N}^*\end{cases} $
D.$ \begin{cases}x + y + z = 65\\ x ＜ 65\\ y ＜ 65\\ z ＜ 65\\ x,y,z\in\mathbf{N}^*\end{cases} $

答案： 1. 解析:由题意得$ x + y + z = 65 $，$ x ＞ z ＞ 0 $，$ y ＞ z ＞ 0 $，$ x,y,z \in \mathbf{N}^* $。故选 C。

2. 学校计划购买一些气球来布置校庆会场，已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有(B)

A.20 个
B.22 个
C.24 个
D.26 个

答案： 2. 解析:分别设红、黄、蓝、绿的气球分别有$ a,b,c,d $个，且$ a,b,c,d $为正整数，则由题意得$ a \geq c + 1 $，$ c \geq d + 1 $，$ d \geq b + 1 $，$ 2b \geq a + 1 $，可得$ b \geq 4 $，所以$ a \geq 7 $，$ c \geq 6 $，$ d \geq 5 $，即至少有$ 4 + 5 + 6 + 7 = 22 $个，故选 B。

3. 已知 $ a\in\mathbf{R},p = (a - 1)(a - 3),q = (a - 2)^2 $，则 $ p $ 与 $ q $ 的大小关系为(C)

A.$ p ＞ q $
B.$ p\geqslant q $
C.$ p ＜ q $
D.$ p\leqslant q $

答案： 3. 解析:由于$ p - q = (a - 1)(a - 3) - (a - 2)^2 = -1 ＜ 0 $，所以$ p ＜ q $，故选 C。

4. 若 $ \frac{1}{a}＜\frac{1}{b}＜0 $，则下列结论中不正确的是(D)

A.$ a^2 ＜ b^2 $
B.$ ab ＜ b^2 $
C.$ a + b ＜ 0 $
D.$ |a| + |b| ＞ |a + b| $

答案： 4. 解析:由于$ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0 $，则$ b ＜ a ＜ 0 $。
对于选项 A，由于$ b ＜ a ＜ 0 $，则$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ＜ 0 $，则$ a^2 ＜ b^2 $，故 A 正确。
对于选项 B，由于$ b ＜ a ＜ 0 $，则$ ab - b^2 = (a - b)b ＜ 0 $，则$ ab ＜ b^2 $，故 B 正确。
对于选项 C，由于$ b ＜ a ＜ 0 $，则$ a + b ＜ 0 $，故 C 正确。
对于选项 D，由于$ b ＜ a ＜ 0 $，则$ |a| + |b| = |a + b| $成立，故 D 错误。故选 D。

5. 已知 $ a ＞ b ＞ c $，则 $ \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a} $ 的值(A)

A.为正数
B.为非正数
C.为非负数
D.不确定

答案： 5. 解析:因为$ a ＞ b ＞ c $，所以$ a - b ＞ 0 $，$ b - c ＞ 0 $，$ a - c ＞ b - c ＞ 0 $，所以$ \frac{1}{a - b} ＞ 0 $，$ \frac{1}{b - c} ＞ 0 $，$ \frac{1}{b - c} ＞ \frac{1}{a - c} $，$ \frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a} ＞ 0 $，$ \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a} ＞ 0 $，故选 A。

6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先将“$ =$”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“$ ＞ $”和“$ ＜ $”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远。若 $ a,b,c\in\mathbf{R} $，则下列命题中正确的是(B)

A.若 $ ab\neq 0 $，且 $ a ＜ b $，则 $ \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $
B.若 $ 0 ＜ a ＜ 1 $，则 $ a^3 ＜ a $
C.若 $ a ＞ b ＞ 0 $，则 $ \frac{b + 1}{a + 1}＜\frac{b}{a} $
D.若 $ c ＜ b ＜ a $，且，则 $ cb^2 ＜ ab^2 $

答案： 6. 解析:
对于选项 A，取$ a = -1 $，$ b = 1 $，则$ -1 ＜ 1 $，故 A 错误。
对于选项 B，$ a^3 - a = a(a^2 - 1) ＜ 0 $，故 B 正确。
对于选项 C，不等式$ \frac{b + 1}{a + 1} ＜ \frac{b}{a} $等价于$ ab + a ＜ ab + b $，即等价于$ a ＜ b $，与条件矛盾，故 C 错误。
对于选项 D，取$ b = 0 $，则$ cb^2 = ab^2 = 0 $，故 D 错误。故选 B。