《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

16. 在经济学中，函数 $ f(x) $ 的边际函数 $ Mf(x) $ 定义为 $ Mf(x) = f(x + 1) - f(x) $. 某医疗设备公司生产某种医疗器械，已知每月生产 $ x $ 台 $ (x \in \mathbf{N}^{*}) $ 的收益函数为 $ R(x) = 3000x - 20x^{2} $（单位：万元），成本函数 $ C(x) = 500x + 4000 $（单位：万元），该公司每月最多生产 100 台该医疗器械.（利润函数 $ = $ 收益函数 $ - $ 成本函数）
（1）求利润函数 $ P(x) $ 及边界利润函数 $ MP(x) $；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器械时每台的平均利润最大，最大利润是多少？（精确到 $ 0.1 $）

答案： 16.解析:
(1)由题意可得$P(x) = 3000x - 20x^{2} - (500x + 4000) = - 20x^{2} + 2500x - 4000$，其中$1\leq x\leq100$，$x\in\mathbf{N}^{*}$. $MP(x) = P(x + 1) - P(x) = - 40x + 2480$，其中$1\leq x\leq99$，$x\in\mathbf{N}^{*}$.
(2)每台医疗器械的平均利润为$\frac{P(x)}{x} = - 20\left(x + \frac{200}{x}\right) + 2500\leq - 40\sqrt{x· \frac{200}{x}} + 2500 = 2500 - 400\sqrt{2}$，当且仅当$x = \frac{200}{x}$，即$x = 10\sqrt{2}$时取等号.由于$x\in\mathbf{N}^{*}$，当$x = 14$时，每台医疗器械的平均利润为$1934.3$万元；当$x = 15$时，每台医疗器械的平均利润为$1933.3$万元.答:每月生产$14$台医疗器械时，平均利润最大为$1934.3$万元.

17. 已知函数 $ f(x) = x^{2} - 2ax + a, a \in \mathbf{R} $.
（1）设 $ a ＞ 0 $，若关于 $ x $ 的不等式 $ f(x) ＜ 3a^{2} + a $ 的解集为 $ A $，集合 $ B = \{ x \mid -1 \leq x \leq 2 \} $，且 $ x \in A $ 的充分不必要条件是 $ x \in B $，求 $ a $ 的取值范围；
（2）方程 $ f(x) = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1} $，$ x_{2} $，若 $ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6x_{1}x_{2} - 3 $，求实数 $ a $ 的值.

答案： 17.解析:
(1)由于$x^{2} - 2ax + a\lt3a^{2} + a$，则$(x + a)(x - 3a)\lt0$.由于$a\gt0$，则$-a\lt x\lt3a$，即$A = \{x\mid - a\lt x\lt3a\}$.由于$x\in A$的充分不必要条件是$x\in B$，则$B\subsetneqq A$，即$\begin{cases}a\gt0,\\-a\lt - 1,\\3a\gt2,\end{cases}$解得$a\gt1$.
(2)$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2} - 2ax + a = 0$的两个实根，则$\Delta = 4a^{2} - 4a\geq0$，解得$a\leq0$或$a\geq1$.由于$\begin{cases}x_{1} + x_{2} = 2a,\\x_{1}x_{2} = a,\end{cases}$则$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 6x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 8x_{1}x_{2} = 4a^{2} - 8a = - 3$，解得$a = \frac{1}{2}$或$a = \frac{3}{2}$.由于$a\leq0$或$a\geq1$，则$a = \frac{3}{2}$.